多元函数可微的充分必要条件

时间：2024-06-03 10:28:36 桔子浏览：百科知识大全我要投稿

多元函数可微的充分必要条件是存在一组局部常数$a_{i,j}$，使得在某个点$(x_0,y_0)$的邻域内，该函数在$(x_0,y_0)$处可导，且有以下线性逼近近似式：$$f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + \sum_{i=1}^m a_{i,1} (x-x_0) + \sum_{j=1}^n a_{j,2} (y-y_0).$$
其中，$m$和$n$分别为自变量$x$和$y$的个数，即是多元函数的维数。
以上逼近式可以看做是对函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$点的一阶Taylor展开式，也就是说，可微的充分必要条件是函数的一阶偏导数存在且连续。
需要注意的是，虽然函数的每个偏导数存在且连续，但并不能保证函数可微。因为可微还需要满足相应的线性逼近条件。