已知与曲线C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交xy轴于AB两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b

问题描述：

例4、已知与曲线C：相切的直线L交x轴，y轴于A，B两点，O为原点，（a>2,b>2）(1)求证：（a-2）(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；

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最佳答案：

解：

（1）由题意知，A（a，0），B（0，b），

∴直线l方程为 x /a + y/b =1，即bx+ay-ab=0，

曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1

∵直线与圆相切，

∴ |a+b-ab| / √(a^2+b^2)? =1，

两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，

即（a-2）（b-2）=2

(2)设线段AB中点为M（x，y），

由中点坐标公式得x= a/2 ＞1，y= b/2 ＞1，

即a=2x，b=2y，

代入（a-2）（b-2）=2，得（2x-2）（2y-2）=2，

整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=1/2 (x＞1，y＞1)

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