（2013?本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，

问题描述：

（2013?本溪）如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是

1

310

1

310

．

---

最佳答案：

∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B1是△OBA的重心，也是内心，
∴∠BOB1=30°，
∵△OB1A1是等边三角形，
∴∠A1OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，
∵cos∠B1OM=cos30°=

OM

OB1

=

3

2

，
∴

OB

OB1

=

2OM

OB1

=

2 3

2

=

3

，即

OB1

OB

=

1

3

，
∴

S△OB1A1

S△OBA

=（

OB1

OB

）2=

1

3

，即S△OB1A1=作业帮用户2017-10-19 扫描下载二维码

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