问题描述:
如果单调递增的数列的奇数项子列收敛,则该数列收敛吗
最佳答案:
参考答案一
? ?设数列为an.因为an增,则a(2k-1)≤an(2k)≤an(2k+1)[括号内为角标].不妨设奇数子列收敛于A,即任意ε>0,存在正整数N1,k>N1时,有A-ε<a(2k-1)<A+ε. 存在正整数N2,K>N2时,有A-ε<a(2k+1)<A+ε。取N=max﹛N1,N2﹜则k>N时,有A-ε<a(2k-1)<a(2k+1)<A+ε。进一步A-ε<a(2k-1)<a(2k)<a(2k+1)<A+ε。即偶数子列也收敛于A。竟然一个数列的奇数、偶数子列都收敛于A,那么an就收敛于A。
参考答案二
? ?证明:
? ?假设数列an收敛于实数A和实数B,其中A≠B,不妨假设A0,使得对于任意的n≥N,总有 |an-A|
? ?取e=(B-A)/2,那么对于任意的n≥N,必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2 即(3A-B)/2?
? ?因此 (3A-B)/2-B 即 3(A-B)/2 由于A 因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。
? ?即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。因此存在一个e'=|A-B|/2>0,使得对于任意的N'>0,总会有更大的N''>N且N>N',使得对于任意的n≥N'',总是不满足|an-B|
? ?根据数列极限的e-N定义法,数列an不收敛于B。
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