证明:f(x)=x/(x2+1)是R上的有界函数。

时间:2024-04-30 22:00:10 5A范文网 浏览: 平时作业 我要投稿

问题描述:

证明f(x)=x/(x2+1)是R上的有界函数



最佳答案

方法一:

(1)

x=0时,f(x)=0/(0+1)=0

(2)

x≠0时,f(x)=x/(x2+1)=1/(x+1/x)

x<0时,x+1/x ≤-2

x>0时,x+1/x ≥2

∴1/(x+1/x)属于【-1/2,0),(0,1/2】

综上,f(x)属于【-1/2,1/2】

∴ f(x)=x/(x2+1)是R上的有界函数。

方法二:

已知函数 f(x)=x/(1+x2) 的定义域为R。

利用基本不等式a>0,b>0时,a2+b2≥2ab 可得,

当x≠0时, |f(x)|=|x|/(1+|x|2)≤|x|/2(1·|x|)=1/2

又|f(0)|=0<1/2

∴当x∈R时总成立|f(x)|≤1/2

故函数f(x)在定义域内有界。

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