已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线C':x2a2-

时间:2024-04-30 21:30:57 5A范文网 浏览: 平时作业 我要投稿

问题描述:

已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线 C':
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1(a>0,b>0) 的类似性质,并加以证明.


最佳答案

若M、N是双曲线 C':
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1(a>0,b>0) 上关于原点对称的两个点,P是双曲线上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值
b 2
a 2
.证明如下:
设P(m,n)是双曲线C'上的任意一点,M(x 0 ,y 0 ),N(-x 0 ,-y 0 )是双曲线上的关于原点对称的两个点.
m 2
a 2
-
n 2
b 2
=1 ,
x 20
a 2
-
y 20
b 2
=1 ,
∴ n 2 -
y 20
= b 2 (
m 2
a 2
-1)- b 2 (
x 20
a 2
-1) =
b 2
a 2
( m 2 -
x 20
) .
∴k PM ?k PN =
n- y 0
m- x 0
?
n+ y 0
m+ x 0
=
n 2 -
y 20
m 2 -
x 20
=
b 2
a 2
为定值.

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