现有固定的光滑直杆AB和光滑弧管道BC，两者在B处相切并平滑连接，O为圆心．O、A在同一条水平线上，OC竖直，管道BC的半径为R=0.5m．所对应的圆心角为53°．一中间穿孔，直径略小于管道BC内

问题描述：

现有固定的光滑直杆AB和光滑弧管道BC，两者在B处相切并平滑连接，O为圆心．O、A在同一条水平线上，OC竖直，管道BC的半径为R=0.5m．所对应的圆心角为53°．一中间穿孔，直径略小于管道BC内径，质量为m的小球，穿在直杆AB上．用绕过在O点的定滑轮的细线一端和小球相连，另一端与质量为M物块相连．将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时使细线断裂，小球进入管道继续运动．且到达C点时速度恰好为零．已知sin53°=0.8．g取10m/s²．求：

（1）小球运动到B点时的速度v_B；
（2）物块和小球质量的比值

M

m

；
（3）在其他条件不变的情况下，若仅改变

M

m

=7，则小球运动到C点时对管道的作用力．

---

最佳答案：

（1）绳子断裂后，小球独自从B点运动到C点，由机械能守恒定律得：

1

2

mvB2=mgR（1-cos53°）?? ①
代入得：vB=2m/s
（2）绳子断裂时小球速度与绳垂直，由速度分解知识得，此时M速度为O，由系统机械能守恒得：Mg（

R

cos37°

-R）-mgRcos53°=

1

2

mvB2+0?? ②
解得：

M

m

=4
（3）小球由A点运动到B点过程机械能守恒
Mg（

1

2

mvB2-R）-mgRcos53°=

1

2

mvB2+0?? ③
小球B到C点过程机城能守恒-mgR（1-cos53°）=

1

2

mvC2+

1

2

mvB2? ④
设在C点对管对小球的作用力的方向向下，由牛顿第二定律得：N+mg=m

v 2c

R

??? ⑤
解得：N=6.5mg
由牛顿第三定律得，小球对管的作用力大小为6.5mg
答：（1）小球运动到B点时的速度是2m/s；
（2）物块和小球质量的比值

M

m

是4；
（3）在其他条件不变的情况下，若仅改变

M

m

=7，则小球运动到C点时对管道的作用力是6.5mg．

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