arctanx的导数是1/(1+x^2)。[arctan(1/x)]' =1/[1+(1/x)^2]*(1/x)' =[x^2/(1+x^2)]*(-1/x^2) =-1/(1+x^2)。
反函数的导数与原函数的导数关系
设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）
反函数求导法则
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f＇(y)≠0f＇(y)≠0，那么它的反函数y=f?1(x)y=f?1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且
[f?1(x)]＇=1f＇(y)或dydx=1dxdy
[f?1(x)]＇=1f＇(y)或dydx=1dxdy
这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例：设x=siny，y∈[?π2,π2]x=sin?y，y∈[?π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin?x是它的反函数，求反函数的导数.
解：函数x=sinyx=sin?y在区间内单调可导，f＇(y)=cosy≠0f＇(y)=cos?y≠0
因此，由公式得
(arcsinx)＇=1(siny)＇
(arcsin?x)＇=1(sin?y)＇
=1cosy=11?sin2y????????√=11?x2?????√
=1cos?y=11?sin2?y=11?x2
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