设数列{an}的各项均为正实数，bn=log2an，若数列{bn}满足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p为正常数，且p≠1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n＞

问题描述：

设数列{a_n}的各项均为正实数，b_n=log₂a_n，若数列{b_n}满足b₂=0，b_n+1=b_n+log₂p，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁?a₄?a₇?…?a_3n-2＞a₁₆恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若p=2，设数列{c_n}对任意的n∈N^*，都有c₁b_n+c₂b_n-1+c₃b_n-2+…+c_nb₁=-2n成立，问数列{c_n}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．

---

最佳答案：

（1）∵bn+1=bn+log2p，∴bn+1-bn=log2p，
∴{bn}是以log2p为公差的等差数列，
又b2=0，∴bn=b2+（n-2）log2p=log2pn?2，
故由bn=log2an，得an＝2bn=2log2pn?2=pn-2；
（2）∵an＝pn?2，∴a1?a4?a7?…?a3n-2=p-1?p2?p5…p3n-4
=p-1+2+5+…+（3n-4）=p

n(3n?5)

2

，
又a16＝p14，∴p

n(3n?5)

2

＞p14，
（i）当0＜p＜1时，

n(3n?5)

2

＜14，解得-

7

3

＜n＜4，不符合题意；
（ii）当p＞1时，

n(3n?5)

2

＞14，解得n＞4或n＜-

7

3

，
综上所述，当p＞1时，存在正整数M使得a1?a4?a7?…?a3n-2＞a16恒成立，且M的最小值为4；
（3）∵p=2，由（1）得bn=n-2，
∴c1（n-2）+c2（n-3）+c3（n-4）+…+cn（-1）=-2n①，
则c1（n-1）+c2（n-2）+c3（n-3）+…+cn+1（-1）=-2（n+1）②，
由②-①，得c1+c2+c3+…+cn-cn+1=-2③，
∴c1+c2+…+cn+cn+1-cn+2=-2④，
再由④-③，得2cn+1=cn+2，即

cn+2

cn+1

＝2(n∈N*)，
∴数列{cn}一定是等比数列，且公比为2，c1=2，∴cn＝2n．

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