某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所

问题描述：

某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

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最佳答案：

（1）在直角△PEN中，∠PNE=45°，
∴EN=PE=30m，
在Rt△PME中，∠PME=31°，
∴ME=

PE

tan31°

=50（m），
则MN=EM-EN=20（m）．
答：两渔船M、N之间的距离是20米；

（2）过点D作DQ⊥AH于点Q．
由题意得：tan∠DAB=4，tanH=

4

7

，
在直角△DAQ中，AQ=

DQ

tan∠DAB

=

24

4

=6（m），
在直角△DHQ中，HQ=

DQ

tanH

=

24

4 7

=42（m）．
故AH=HQ-AQ=42-6=36（m）．
S△ADH=

1

2

AH•DQ=432（m2）．
故需要填筑的土石方是V=SL=432×100=43200（m3）．
设原计划平均每天填筑xm3，则原计划

43200

x

天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2xm3．
根据题意，得：10x+（

43200

x

-10-20）•2x=43200，
解得：x=864．
经检验x=864是原方程的解．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．

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