如图所示，一半径为R1的不透明黑球外面包着一半径为R2的同心透明介质球层，R1R2＝23，球层介质的材料折射率n=1.35．球层外表面的右半部分（图中ABC球面）为磨沙面．现用平行光从左向右沿

问题描述：

如图所示，一半径为R₁的不透明黑球外面包着一半径为R₂的同心透明介质球层，

R1

R2

＝

2

3

，球层介质的材料折射率n=1.35．球层外表面的右半部分（图中ABC球面）为磨沙面．现用平行光从左向右沿图中所示的方向照到球层上．（已知：在题给条件下，在图面内能到达ABC面上的各光线，随着入射角的增大其折射线与ABC面的交点是朝一个方向变动的，即没有往返的变动）
（1）试求ABC面上被照到的范围是什么图形（准确的结果用反三角函数表示即可）；
（2）若其他条件仍如题述，但介质球层的折射率依次取从n=1.35逐增到n≥

3

2

的各值．试定性的说出ABC球面上被照到的范围是如何变化的．
（已知：sin40°=0.64，sin45°=0.71，sin50°=0.77，
sin55°=0.82，sin60°=0.87，sin65°=0.91，
sin70°=0.94，sin75°=0.97，sin80°=0.98）

---

最佳答案：

（1）据题意

R1

R2

=

2

3

，n=1.35，如图1所示．
A点折射：sini′A=

1

n

M点折射：siniM=nsini′M
M点折射光线于黑球相切：sini′M=

R1

R2

几何关系有：
∠BOQ′=180°-∠DOQ′
∠DOQ′=iM+∠MOQ′
∠MOQ′=180°-2i′M
得：∠BOQ′=2i′M-iM
同理∠BOP′=2i′A-90°
前面已知：

R1

R2

=

2

3

，n=1.35，
sini′A=

1

n

，
siniM=nsini′M，
sini′M=

R1

R2

，
得：i′A=47.8°
    i′M=41.8°
    iM=64.2°
还有：∠BOQ′=2i′M-iM
∠BOP′=2i′A-90°
则得：∠BOQ′=19.4°，∠BOP′=5.6°，是同心圆环带．
（2）如图3所示．
已知

sini′A＝ 1 n siniM＝nsini′M sini′M＝ R1 R2

n逐渐增大，由上可知i′A、i′M、逐渐变小，被照范围：圆环⇒圆盘⇒圆环．
答：
（1）ABC面上被照到的范围是同心圆环带图形．
（2）ABC球面上被照到的范围从圆环⇒圆盘⇒圆环．

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