集合论与数理逻辑部分
（一）单项选择题
1. 下列集合中只有( )中的集合是空集.
A. x是满足x2?1=0的实数 (B) x是满足2x+1=x的实数
(C) x (D) x
2. 设A={1, 2, 5, 8 , 11}. 下列结论中只有( )成立.
A. {5, 1}?A (B) {5, 1}?A
(C) {5, 1}?A (D) 5, 1?A
3. 设A, B, C是任意三个集合, 则下列结论中只有( )正确.
A. (A?B)?C=A?(B?C) (B) (A?B)?C=A?(B?C)
(C) A?(B?C)=A?(B?C) (D) A?(B?C)=A?(B?C)
4. 设A, B, C是任意三个集合, 则下列结论中只有( )正确.
A. (A?B)?C=(A?C)?( B?C) (B) (A?B)?C=(A?C)?( B?C)
(C) (A?B)?C=(A?C)?( B?C) (D) (A?B)?C=A?B?C
5. 设A, B, C是任意三个集合, 则下列结论中只有( )正确.
A. (A?B)? C=(A?C) ?B (B) (A?B)?C=(A?C)?B
(C) (A?B)?C=(A?C) ?( B?C), (D) (A?B) ?C =A?C
6．设A=a, b, c, 下列关系中只有( )是A上的自反关系.
A.R1=(a, b), (b, c), (c, a), (c, c) (B) R2=(a, a), (b, b), (c, b), (b, c)
(C) R3=(a, b), (b, b), (c, c), (a, a) (D) R4=(a, b), (b, c), (c, c), (a, c)
7. 设X=1, 2, 3, 4. 下列关系中只有( )是等价关系.
A. R1=(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4) (B) R4=(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)
(C) R3=(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 4) (D) R2=(3, 4), (2, 3), (1, 4), (4, 2)
8. 下列语句中只有( )是命题.
A. 我正在说谎. B. 严禁吸烟!
C. 现在几点了? D. 如果1+2=5，那么雪是黑的.
9. 设P表示"我将去旅游"，Q表示"我有时间". 命题"仅当我有时间时, 我将去旅游"可以符号化为( ).
A. P?Q B. Q?P C. P?Q D. ?Q??P
10. 设P表示"我们游泳"，Q表示"我们跑步". 那么命题："我们不能既游泳又跑步"符号化为( ).
A. ?P??Q B. ?P??Q C. ?(P?Q) D. P??Q
（二）填空题
1. 设A=1, B=1, 3, C=1, 5, 9, D=1, 2, 3, 4, 5, E=1, 3, 5, 7, 9,
U=1, 2, ..., 8, 9, 在下面每对集合之间填入符号?或(.
(1) ? A (2) A B (3) B C (4) B E
(5) C D (6) C E (7) D E (8) D U
2. 设F表示一年级大学生的集合, S表示二年级学生的集合, R表示软件专业的学生, C表示计算机专业的学生, M表示在学习软件数学基础的学生, P表示周末也坚持学习的学生, H表示能坚持锻炼身体的学生, E星期天晚上很晚才睡觉的学生, W表示喜欢天天玩游戏的学生, A表示通过软件数学基础考试的学生. 用集合及其运算表示出下列论述所描述的集合, 并把描述填入相应的空格.
(1) 所有软件专业的一年级学生都在学习软件数学基础. ( )
(2) 所有计算机专业的学生不但能坚持锻炼身体而且周末也在坚持学习. ( )
(3) 学习软件数学基础的学生星期天晚上很晚才睡觉. ( )
(4) 只有软件专业的学生和计算机专业的一、二年级学生才能学习软件数学基础. ( )
(5) 除喜欢天天玩游戏的学生之外, 其它学习软件数学基础的学生都通过了考试. ( )
3. 设A=1, 3, C=1, 5, 9, 则A?C= .
4. 设A=1, 2, 3, R=(1, 2), (2, 3), (3, 1), 则R?1= .
5. 设A=1, 2, 3, R=(1, 2), (2, 3), T=(3, 1), 则RT= .
6. 设A=2, 3, 5, B=3, 4, 8, R=(x, y)是从A到B的二元关系, 则R所包含的有序对为 .
7. 设P表示"我生病"，Q表示"我去学校". 命题"我虽然生病但我仍去学校"可符号化为 .
8. 设P表示"我生病"，Q表示"我去学校". 命题"只有在生病的时候，我才不去学校"可符号化为 .
9. A、B为两个命题公式, A?B当且仅当 .
A==>B当且仅当 .
10. A、B为两个命题, 德摩根律可表示为 , 吸收律可表示为 .
（三）判断题
1. 设A, B是任意两个集合. 若x?A, 则x?A?B. ( )
2. 设A, B是任意两个集合. 若x?A?B, 则x?A?(A?B). ( )
3. 设A, B是任意两个集合, 则A?~B=B?~A. ( )
4. 设A, B, C, D是任意四个集合. 如果A?B, C?D, 那么(A?C)?(B?D). ( )
5. 设A, B, C是任意三个集合, 则(A?B)?(A?C)=A?(B?C). ( )
6. 若R是集合A上的偏序, 则R?1也是A上的偏序关系. ( )
7. 设R, S是集合A上的对称关系, 则R?S也是对称关系. ( )
8. 设R, S是集合A上的传递关系, 则R?S也是传递关系. ( )
9. 语句x+y=1是一个命题. ( )
10. 设P表示学习努力, Q表示学习进步, R表示学习退步. 命题"如果不努力学习, 学习不但无法进步而且还要退步." 可以符号化为: P?(?Q?R). ( )
（四）计算题
1. 设U=a, b, c, d, e, f, g, h, k, A=a, b, c, g, B=d, e, f, g, C=a, c, f, D=f, h, k.
计算下列集合:
(1) A ?B (2) B ?C (3) A ?C (4) B?D (5) A?B
(6) ~A (7) A?B (8) A?C (9) ~(A?B) (10) ~(B ?C)
2. 设A, B的定义如下, 求A?B:
3. 一个班里有50个学生, 期中考试有26人90分以上, 期末考试有21人90分以上. 如果两次考试都没有得到90分以上的学生有17人, 那么两次考试都得90分以上的人有多少个?
4. 设集合A=a, b, c, d, A上的关系
R=(a, b), (b, a), (b, c), (c, d), (d, b).
(1) 写出R的关系矩阵M.
(2) 画出R的关系图.
5. 设A=1, 2, 3, 4, 5, 在集合A上定义两种关系.
R=(1, 2), (3, 4), (2, 2), S=(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3).
求RS和SR的关系矩阵.
6. 分别举出集合A=1, 2, 3上满足下列条件的关系R的例子
(1) R既是对称的又是反对称的.
(2) R既不是对称的也不是反对称的.
（五）证明题
1. 设A, B, C是任意集合. 证明: (A?B)?(A?C)=A?A?B?C=?.
2. 设A, B, C是任意集合. 证明: A?(B?C)=(A ?B) ? (A ?C).
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