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【经济数学基础】形成性考核册（一）
一、填空题
1..答案：1
2.设，在处连续，则.答案1
3.曲线+1在的切线方程是 . 答案:y=1/2X+3/2
4.设函数，则.答案
5.设，则.答案:
二、单项选择题
1. 当时，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A． B． C． D．
2. 下列极限计算正确的是（ B ）
A. B. C. D.
3. 设，则（ B ）．
A． B． C． D．
4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
5.若，则（ B ）.
A． B． C． D．
三、解答题
1．计算极限
本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括：
⑴利用极限的四则运算法则；
⑵利用两个重要极限；
⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)
⑷利用连续函数的定义。
（1）
分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算
解：原式===
（2）
分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。
具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算
解：原式==
（3）
分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算
解：原式====
（4）
分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。
解：原式=
（5）
分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。
具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算
解：原式=
（6）
分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。
具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算
解：原式=
2．设函数，
问：（1）当为何值时，在处极限存在？
（2）当为何值时，在处连续.
分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。
解：（1）因为在处有极限存在，则有
又
即
所以当a为实数、时，在处极限存在.
（2）因为在处连续，则有
又 ，结合（1）可知
所以当时，在处连续.
3．计算下列函数的导数或微分：
本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：
⑴利用导数(或微分)的基本公式
⑵利用导数(或微分)的四则运算法则
⑶利用复合函数微分法
（1），求
分析：直接利用导数的基本公式计算即可。
解：
（2），求
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
解：= =
（3），求
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
解：
（4），求
分析：利用导数的基本公式计算即可。
解：
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
（5），求
解：=
（6），求
分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。
解：
（7），求
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算
解：
（8），求
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算
解：
（9），求
分析：利用复合函数的求导法则计算
解：
=
（10），求
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算
解：
4.下列各方程中是的隐函数，试求或
本题考核的知识点是隐函数求导法则。
（1），求
解：方程两边同时对x求导得：
（2），求
解：方程两边同时对x求导得：
5．求下列函数的二阶导数：
本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数
（1），求
解：
（2），求及
解：
=1
《经济数学基础》形成性考核册（二）
（一）填空题
1.若，则.
2. .
3. 若，则
4.设函数
5. 若，则.
（二）单项选择题
1. 下列函数中，（ D ）是xsinx2的原函数．
A．cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-cosx2
2. 下列等式成立的是（ C ）．
A． B． C． D．
3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）．
A．， B． C． D．
4. 下列定积分中积分值为0的是（ D ）．
A． B． C． D．
5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）．
A． B． C． D．
(三)解答题
1.计算下列不定积分
（1） （2）
解：原式 解：原式
（3） （4）
解：原式 解：原式
（5） （6）
解：原式 解：原式
（7） （8）
解：原式 解：原式
2.计算下列定积分
（1） （2）
解：原式 解：原式
（3） （4）
解：原式 解：原式
（5） （6）
解：原式 解：原式
《经济数学基础》形成性考核册（三）
（一）填空题
1.设矩阵，则的元素.答案：3
2.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：
3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：
4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：
5. 设矩阵，则.答案：
（二）单项选择题
1. 以下结论或等式正确的是（ C ）．
A．若均为零矩阵，则有
B．若，且，则
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若，则
2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ A ）矩阵．
A． B． C． D．
3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． `
A．， B． C． D．
4. 下列矩阵可逆的是（ A ）．
A． B． C． D．
5. 矩阵的秩是（ B ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题
1．计算
（1）=
（2）
（3）=
2．计算
解 =
3．设矩阵，求。
解 因为
所以
（注意：因为符号输入方面的原因，在题4-题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；...）
4．设矩阵，确定的值，使最小。
解：
当时，达到最小值。
5．求矩阵的秩。
解：
→
∴。
6．求下列矩阵的逆矩阵：
（1）
解：
∴
（2）A =．
解：→
→
∴A-1 =
7．设矩阵，求解矩阵方程．
解：
∴
∴ =
四、证明题
1．试证：若都与可交换，则，也与可交换。
证：∵，
∴
即 也与可交换。
即 也与可交换.
2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。
证：∵
∴是对称矩阵。
∵=
∴是对称矩阵。
∵
∴是对称矩阵.
3．设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。
证： 必要性：
∵ ，
若是对称矩阵，即
而 因此
充分性：
若，则
∴是对称矩阵.
4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。
证：∵
∴是对称矩阵. 证毕.
《经济数学基础》形成性考核册（四）
（一）填空题
1.函数的定义域为。答案：.
2. 函数的驻点是，极值点是 ，它是极 值点。答案：=1；（1，0）；小。
3.设某商品的需求函数为，则需求弹性 .答案：=
4.行列式.答案：4.
5. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解. 答案：
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x
2. 设，则（ C ）．
A． B． C． D．
3. 下列积分计算正确的是（ A ）．
A． B． C． D．
4. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．
A． B． C． D．
5. 设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．
A． B． C． D．
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程：
(1)
解: , ,
（2）
解:
2. 求解下列一阶线性微分方程：
（1）
解:
（2）
解:
3.求解下列微分方程的初值问题：
(1),
解：
用代入上式得：
， 解得
∴特解为：
(2),
解：
用代入上式得：
解得：
∴特解为：
（注意：因为符号输入方面的原因，在题4-题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；...）
4.求解下列线性方程组的一般解：
（1）
解：A=
所以一般解为
其中是自由未知量。
（2）
解：
因为秩秩=2，所以方程组有解，一般解为
其中是自由未知量。
5.当为何值时，线性方程组
有解，并求一般解。
解：
可见当时，方程组有解，其一般解为
其中是自由未知量。
6．为何值时，方程组
有唯一解、无穷多解或无解。
解：
根据方程组解的判定定理可知：
当，且时，秩<秩，方程组无解；
当，且时，秩=秩=2<3，方程组有无穷多解；
当时，秩=秩=3，方程组有唯一解。
7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：①当时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量为多少时，平均成本最小？
解:
①
当时
总成本：（万元）
平均成本：（万元）
边际成本：（万元）
②
令 得
（舍去）
由实际问题可知，当q=20时平均成本最小。
（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．
解:
令， 解得：（件）
（元）
因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．
解: （万元）
∵固定成本为36万元
∴
令 解得：（舍去）
因为只有一个驻点，由实际问题可知有最小值，故知当产量为6百台时平均成本最低。
（4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收入
，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解:
令 解得：（件）
=2470-2500=-25（元）
当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会减少25元。
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