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高等数学基础作业1参考答案
（一）单项选择
1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
A．， B．，
C．， D．，
答案：C
2．设函数的定义域为，则函数的图形关于（ ）对称．
A．坐标原点 B．轴
C．轴 D．
答案：C
3．下列函数中为奇函数是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：B
4．下列函数中为基本初等函数是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：C
5．下列极限存计算不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
6．当时，变量（ ）是无穷小量．
A． B．
C． D．
答案：C
7．若函数在点满足（ ），则在点连续。
A． B．在点的某个邻域内有定义
C． D．
答案：A
（二）填空题
1．函数的定义域是 (-1,3)∪(3,+∞) ．
2．已知函数，则．
3． ．
4．若函数，在处连续，则 e ．
5．函数的间断点是 x=0 ．
6．若，则当时，称为 无穷小量 ．
（三）计算题
1．设函数
求：．
解 按照函数的定义，易知： ，
2．求函数的定义域．
解 由 知 即
∴ 所求定义域为：D＝（1，＋∞）
3．在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
解 设梯形的高为x ，面积为 S，
依题意，梯形的下底＝2R ， 上底＝
则
4．求．
解 原式＝
5．求．
解 原式＝
6．求．
解 原式＝
7．求．
解 原式＝＝
＝＝0
8．求．
解 原式＝
9．求．
解 原式＝
10．设函数
讨论的连续性，并写出其连续区间．
解 ∵ ，
∴ f (x) 在 x = －1处间断
又∵ ，
∴ f (x) 在 x = 1处连续
则 f (x) 的连续区间为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）
高等数学基础作业2参考答案
（一）单项选择题
1．设且极限存在，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：B
2．设在可导，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
3．设，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：A
4．设，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
5．下列结论中正确的是（ ）．
A．若在点有极限，则在点可导．
B．若在点连续，则在点可导．
C．若在点可导，则在点有极限．
D．若在点有极限，则在点连续．
答案：C
6．当时，变量（ ）是无穷小量．
A． B． C． D．
答案：C
7．若函数在点满足（ ），则在点连续。
A． B．在点的某个邻域内有定义
C． D．
答案：A
（二）填空题
1．设函数，则 ．
答案：
2．设，则 ．
答案：2x + 5
3．曲线在处的切线斜率是 ．
答案：1/2
4．曲线在处的切线方程是 ．
答案：
5．设，则 ．
答案：
6．设，则 ．
答案：
（三）计算题
1．求下列函数的导数：
⑴
解：
⑵
解：
⑶
解：
⑷
解：
⑸
解：
⑹
解：
⑺
解：
⑻
解：
2．求下列函数的导数：
⑴
解：
⑵
解：
⑶
解：∵
∴
⑷
解： 设 ，
则
⑸
解：设
则
⑹
解：
⑺
解：
⑻
解：∵ ∴
即
⑼
解：∵ ∴
即
⑽
解：
设
两端求导 即
又 ∵
∴
⑾
解：设
∴
3．在下列方程中，是由方程确定的函数，求：
⑴
解：∵
∴
⑵
解：∵
∴
⑶
解：∵
则
∴
⑷
解：∵
∴
⑸
解：∵
∴
⑹
解：∵
∴
⑺
解：∵
∴
⑻
解：∵
∴
4．求下列函数的微分：
⑴
解：∵
∴
⑵
解：∵
∴
⑶
解：∵
∴
⑷
解：∵
∴
⑸
解：∵
∴
⑹
解：设
即
∴
5．求下列函数的二阶导数：
⑴
解：∵
∴
⑵
解：∵
∴
⑶
解：∵ ∴
⑷
解：设
则
∴
（四）证明题
设是可导的奇函数，试证是偶函数．
证：∵ 是可导的奇函数，即
∴
即 为偶函数。
高等数学基础作业3参考答案
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
1．若函数满足条件（ D ），则存在，使得．
A．在内连续
B．在内可导
C．在内连续且可导
D．在内连续，在内可导
2．函数的单调增加区间是（ D ）．
A． B．
C． D．
3．函数在区间内满足（ A ）．
A．先单调下降再单调上升 B．单调下降
C．先单调上升再单调下降 D．单调上升
4．函数满足的点，一定是的（ C ）．
A．间断点 B．极值点
C．驻点 D．拐点
5．设在内有连续的二阶导数，，若满足（ C ），则在取到极小值．
A． B．
C． D．
6．设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ）．
A．单调减少且是凸的 B．单调减少且是凹的
C．单调增加且是凸的 D．单调增加且是凹的
7．设函数在点处取得极大值，则（ A ）．
A． B．
C． D．
（二）填空题
1．设在内可导，，且当时，当时，则是的 极小值 点．
2．若函数在点可导，且是的极值点，则 0 ．
3．函数的单调减少区间是．
4．函数的单调增加区间是．
5．若函数在内恒有，则在上的最大值是f(a) ．
6．函数的拐点是 x= 0 ．
7．若点是函数的拐点，则 1 ， -3 ．
（三）计算题
1．求函数的单调区间和极值．
解：函数的定义域为
所以，由得驻点为
列表讨论如下：
x50＋0－0＋y极小值
0?极大值
?极小值
0? 由上表可知，和是函数的单调增区间；是函数的单调减区间。函数在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值。
2．求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值．
解：
所以函数驻点为x=1，函数在x=2处不可导。
列表讨论如下：
x12＋0－不存在＋y?极大值
1?极小值
0? 由上表可知，函数在处取得极小值，在处取得极小值。
又，，故函数的最大值为，最小值为0．
3．试确定函数中的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点．
解：
解得
4．求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：设曲线上任一点B(x,y)，则
由，得
易见，在处是左负右正；在处是左正右负；在处是左负右正，所以d在和处取得极小值；在处取得极大值，故距离函数d在处取得最小值，即所求的点为，最短距离为。
5．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：设圆柱的高为x，底面圆的半径r，则
则圆柱体的体积为
求导数
求得驻点
求二阶导数，
所以圆柱体的最大体积为 ．
6．一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：设高为x，底面半径r，则
表面积
求导数
求得驻点
此时
所以当高为，底半径为时，即底面直径与高相等时表面积最小。
7．欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底的边长为x，则高为
所以开口容器的表面积为
令导数
得驻点，此时．
因为只有一个驻点，所以当开口容器的底边长为5，高为2.5时开口容器的表面积最小，此时所用材料最省。
8．从面积为的所有矩形中，求其周长最小者．
解：设矩形的长为x，宽为y，因为S = xy
所以周长为
令导数
得驻点．此时
所以矩形面积一定时，正方形的周长最小。
9．从周长为的所有矩形中，求其面积最大者．
解：设矩形的长为x，宽为y。因为
所以面积为
令导数
得驻点。此时
所以矩形周长一定时，正方形的面积最大。
（四）证明题
1．当时，证明不等式．
证明：设
因为
所以f(x)在内为增函数。
故当时，，即．
2．当时，证明不等式．
证明：设
因为
所以f(x)在内为增函数。
故当时，，即．
高等数学基础作业4参考答案
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
1．若的一个原函数是，则（ D ）．
A． B．
C． D．
2．下列等式成立的是（ D ）．
A． B．
C． D．
3．若，则（ B ）．
A． B．
C． D．
4．（ B ）．
A． B．
C． D．
5．若，则（ B ）．
A． B．
C． D．
6．由区间上的两条光滑曲线和以及两条直线和所围成的平面区域的面积是（ C ）．
A． B．
C． D．
7．下列无穷限积分收敛的是（ D ）．
A． B．
C． D．
（二）填空题
1．函数的不定积分是．
2．若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式F(x) - G(x) = C ．
3．．
4．．
5．若，则．
6． 3 ．
7．若无穷积分收敛，则．
（三）计算题
1．=
2．
3．=
4．
5．
6．
7．
8．
（四）证明题
1．证明：若在上可积并为奇函数，则．
证明
令，则
所以
2．证明：若在上可积并为偶函数，则．
证明
令，则
所以
3．证明：
证明
令，则
所以
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