村民准备在山坡上修建房屋，需要将沙石运送到山坡顶．某辆载重汽车，空载时的质量为m1；当汽车装满沙石后，沿ABC路线行驶将沙石运至高为h的山坡顶，如图1所示，汽车在t=0时经过A处，t=

问题描述：

村民准备在山坡上修建房屋，需要将沙石运送到山坡顶．某辆载重汽车，空载时的质量为m₁；当汽车装满沙石后，沿ABC路线行驶将沙石运至高为h的山坡顶，如图1所示，汽车在t=0时经过A处，t=t₁时经过B处，t=t₂时经过C处，在此过程中汽车的牵引力F和运动速度v随时间的变化图象可简化为图2、图3所示．已知斜坡的机械效率为η，请你通过分析、计算完成下列内容：（不计空气阻力）

（1）汽车所装沙石的质量；
（2）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力．

---

最佳答案：

（1）上坡时对石块做的有用功：W有用=G石h=m石gh ①，
由图3可知，斜坡长L=v2（t2-t1），
由图2可知，上坡时的牵引力为F2，
上坡时牵引力做的总功：W总=FL=F2v2（t2-t1）②，
由η=

W有用

W总

=

m石gh

F2v2(t2-t1)

得：
m石=

F2v2(t2-t1)η

gh

 ③；
（2）根据功的原理（即：总功=有用功+额外功）可知，
上坡时牵引力做的功=克服石块重力做的功+克服货车自重做的功+克服摩擦力做的功；
所以W总=m石gh+m1gh+Wf ，
结合前面①②③式可得：
F2v2（t2-t1）=

F2v2(t2-t1)η

gh

×gh+m1gh+Wf，
解得克服摩擦力做的功：Wf =F2v2（t2-t1）（1-η）-m1gh，
又因为Wf=fL，L=v2（t2-t1），
所以摩擦力：f=

Wf

L

=

F2v2(t2-t1)(1-η)-m1gh

v2(t2-t1)

．
答：（1）汽车所装沙石的质量为

F2v2(t2-t1)η

gh

；
（2）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力为

F2v2(t2-t1)(1-η)-m1gh

v2(t2-t1)

．

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