产品销售预测的数学模型及应用

GM（1,1） 残差检验 关联度检验
　　一、引言
　　对于一个企业来说，追求利润最大化是其生存之本，根据市场需求预测近期销售量从而制定生产分配方案是企业急需考虑的问题，也是生产商面临的一大难题。因而对产品进行销售预测就显得尤为重要。应用GM（1,1）模型进行预测是较为常见的预测方法。首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；不直接用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。本文将以GM（1,1）对代表性机械零件产品——直柄钻的销售量数据建立有效的GM（1,1）模型并进行短期预测。
　　
　　论文检测天使-免费论文相似性查重http://www.jiancetianshi.com
[1]电大学习网.免费论文网[EB/OL]. /d/file/p/2024/0426/fontbr二、实例研究br />　　本文通过研究直柄钻的08年月销售量走势，建立GM（1,1）模型进行产品销售量的预测，并作出详细的模型检验，验证GM（1,1）模型在产品预测是否合理，旨在探求机械零件产品历史销售量走势规律并做出合理预测。
　　（一）直柄钻销售量预测
　　1、GM（1,1）的建立
　　我们将建立GM(1,1)模型的步骤描述如下。
　　 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一步：累加生成
　　对原始数列中个时刻的数据依次累加，从而形成新的序列
　　设原始数列为
　　即
　　对做一次累加生成（记作1-AGO),即令，也即
　　第二步：一次拟合参数
　　建立如下GM(1,1)模型即微分方程：
　　在上式微分方程中，，其中
　　求出后，解微分方程，可得响应函数为
　　第三步：确定预测值
　　根据与的关系可得预测函数为：
　　用到此模型建模，需注意以下问题：
　　（1）定义原始序列时，数据不一定要全部用来建模，踢出个别波动较大的数据，会使预测误差更小。
　　（2）模型的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。
　　（3）建模数据序列应当由最新的数据及其相邻数据构成。当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新数据加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。
　　2、预测模型的求解
　　表1：2008年直柄钻每月销售量统计表 单位：百万个
　　利用GM（1,1）模型对未来直柄钻作短期预测，具体预测如下表：
　　表2： 直柄钻预测销售量结果 单位：百万个
　　表3：2009年直柄钻的实际销量为 单位：百万个
　　从短期预测结果来看，直柄钻未来12个月的销售量基本趋于3.4百万，呈缓慢增长趋势，预计在2010还会继续增长。这也说明国家宏观调控的结果，在平稳中发展。在某种程度上说，这反应了我国工业很有发展的前途。
　　（二）GM(1,1)模型检验
　　1、残差检验
　　根据预测模型，我们得到08年每月销售量：｛3.618 4.053 4.118 4.183 4.250 4.318 4.386 4.456 4.527 4.599 4.672 4.747｝
　　计算绝对残差序列：
　　=｛0.004 0.200 0.231 0.235 0.257 0.346 0.2840 0.087 0.092 0.250 0.188 0.102｝
　　计算相对残差序列：
　　=｛0.1% 4.9% 5.6% 5.6% 6.0% 8.0% 6.4% 1.9% 2.0% 5.4% 4.0% 2.1%｝
　　相对误差不超过8.0%，模型精度较高。
　　2、进行关联度检验
　　（1）计算序列绝对残差序列,max{}=0.346,min{ }=0.004
　　（2）计算关联系数
　　(k=1,…,12,P=0.5)
　　求得：= ｛1.00 0.47 0.44 0.44 0.42 0.34 0.39 0.68 0.68 0.42 0.49 0.65｝
　　（3）计算关联度，
　　是满足P=0.5时的检验准则>0.5的。
　　三、结论
　　通过对机械零件直柄钻实例研究，可以得知：机械零件销售在短期预测中呈现缓慢增长的趋势，说明在国家宏观调控下，工业生产正在快速发展。但由于市场存在的各种偶然因素的影响，个别数据波动较大，我们采用“新旧替代法”，即把预测值补充到已知序列中，同时去掉一个最老的数据，这样建立等维灰度预测模型。从预测误差来看，对所研究的直柄钻建立GM（1,1）模型可以比较准确的预测产品销售量。