基于不同分布假设的ＦＩＧＡＲＣＨ模型对上证指数波动

　　摘 要：采用FIGARCH(1，d，1)模型对上海股票市场指数的波动性在四种不同的分布假设(正态分布，广义误差分布， 学生t分布，非对称学生t分布)下进行了度量和比较研究，目的在于揭示分布假设对FIGARCH模型预测能力的影响。研究结果表明，使用厚尾分布假设(广义误差分布，学生t分布)提高了模型的估计和预测绩效，能更好地刻画上证指数的尖峰厚尾特征，但引入非对称学生t分布并未能进一步提高模型预测能力。
　　关键词：FICARCH 模型；波动性；厚尾分布；非对称学生t分布
　　
　　1 背景介绍
　　
　　为了研究风险的时变特性, Engle (1982) 开创性地提出了条件异方差自回归过程(ARCH) 概念，对其进行了直接扩展, 形成了条件异方差自回归(GARCH) 模型。 GARCH 模型很好地刻画了金融时间序列的“波动集群”(volatility clustering) 特征, 得到广泛应用。FIGARCH模型是Baillie、Bollerslev、Mikklson 在Engle的ARCH模型(1982年)的基础上于1996年提出来的,来考虑股市或汇率收益序列波动中所发现的长期记忆现象。它的主要应用领域是金融资产, 包括证券、期权、利率等方面。该模型通过采用分数差分算子来替换GARCH模型中的一阶差分算子, 使其比GARCH或IGARCH模型更具有适应性，比较擅长于反映这类金融资产的异方差特性以及准确地刻画金融波动的长记忆特征, 从提出至今, 它已被许多人成功地应用到证券市场及汇率市场,尤其在分形市场假说理论（FMH）的波动性建模研究中使用最为广泛。
　　金融时间序列另一特征是“尖峰厚尾”(excess kurtosis and fat tail), 但基于正态分布的假设却未能予以刻画。Bollerslev (1987) 等人使用厚尾Student-t 分布, Nelson( 1991) 等人则建议使用Generalized Error Distribution (GED) 分布。鉴于此,可以假定残差序列服从正态分布、学生t 分布、广义误差分布和非对称t 分布。本文在这四种分布假设下, 比较了FIGARCH 模型对上证指数波动性的预测, 目的在于揭示分布假设对指数波动性测算的影响。
　　
　　2 FIGARCH模型介绍
　　
　　文献在GARCH模型设定的基础上,给出了反映长记忆性最常用的FIGARCH (p,d,q)模型的表达式: 
　　
　　3 模型的估计方法
　　
　　模型中条件残差分布的选择对于模型的拟合效果和解释能力也有很大的影响。研究表明金融时间序列大都呈现尖峰、肥尾的特征,并且分布可能是非对称的。因此借鉴文献 中做法在考虑常用的正态分布的同时,引入学生t 分布、广义误差分布、非对称t 分布，并采用极大似然法分别进行参数估计。选择的条件分布不同,则模型最大似然估计的似然函数也不相同,具体形式如下所示：如果假定残差呈条件正态分布,则其对数似然函数为:

       
　　对于任意一个FIGARCH 模型而言，由于需要估计的参数很多，过程也比较复杂，因此首先有必要对其进行检验，其中最重要的工作是检验序列所受到的 ARCH 影响是否显著，即方差所受冲击的影响是否显著，通常采用LM检验法。对ARCH 类模型参数估计通常可以采用拟极大似然估计方法（QMLE），即假设序列满足条件正态分布的前提下对参数进行估计。而FIGARCH模型经过变换可以转化为GARCH模型，因此对其参数进行估计时也可以运用QMLE方法。

　　[8]电大学习网.免费论文网[EB/OL]. /d/file/p/2024/0426/fontbr />　　4 FIGARCH模型对波动的估计和预测结果分析
　　
　　根据国内外文献对长期记忆分析可知,波动长期记忆现象和波动机制切换密切相关。为了排除预测期内不可能出现的波动机制的干扰和影响,选用了交易机制相对比较稳定的1999年1月1日至2006年7月31日的上证指数数据,并且预留最后一年的数据做预测之用。根据对数据的描述性统计结果可知,这些数据呈现显著的“尖峰厚尾”特性。采用拟极大似然估计(QMLE) 方法,取均值方程为:rt=μ+εt,对FIGARCH(1,d,1) 进行估计,并且残差的条件分布分别取正态分布、广义误差分布、 学生t分布、非对称t 分布，估计结果见表1。
　　
　　注:表中参数下面小括号内的数值为采用QMLE估计参数的t统计量,lnL 为对数似然函数值,AIC为Akaike 信息准则，B3为模型估计残差的偏度,B4为模型估计残差的峰度。
　　从表1中我们可以发现:
　　（1）FIGARCH (1,d,1) 模型估计的分整差分程度d都在0.4～0.5 之间,这说明在该样本期间,我国股市的波动的确具有强烈的长期记忆特征。
　　（2）考虑长期记忆的FIGARCH 模型时, 估计的α和β之和明显减少。采用最大似然准则和最小赤池准则(AIC) 进行模型拟和优劣判别, FIGARCH模型效果较好,这表明在研究我国股市波动特征的过程中,由于强持续性的存在,采用具有分数积分FIGARCH 模型能更好地反映股市波动的真实情况。
　　（3）不同条件分布拟合效果从好到坏依次为: 非对称学生t 分布、学生t分布、广义误差分布和正态分布。而模型预测效果由强到弱依次为:广义误差分布、非对称学生t 分布、学生t分布和正态分布。由结果可以看出,正态分布的预测效果是最差的,这与股市中实际收益率呈现显著“尖峰厚尾”特征直接相关,收益率的“尖峰厚尾”特征相当大地偏离了正态分布。由于t 分布较之正态分布具有更宽的尾部, 因而能更好地描述收益序列的厚尾性问题。在收益率分布函数对我国股市进行波动性预测时,广义误差分布和非对称学生t 分布是较好的选择。
　　（4）非对称学生t 分布假设并未能进一步提高FIGARCH模型预测能力，我们认为原因可能是1996年2月
　　16日实行的涨停板制度弱化了分布偏度统计特征，限制了日收益率的最大值和最小值，对标准差、偏度、峰度等统计指标，从而对市场风险，都会产生一定影响。
　　
　　5 结论
　　
　　本文首先引入了FIGARCH模型,并给出了具有不同分布特征的FIGARCH 模型参数估计的概率密度。采用上海证券市场的指数数据,考察了FIGARCH 模型在不同条件分布下对市场波动性的拟合效果和预测能力。实证结果表明,不管是模型拟合效果还是预测能力方面,广义误差分布的分布函数更适合我国股市波动特征的描述。因此,考虑了长期记忆特征的FIGARCH 模型应用到与波动密切相关的领域之中,如衍生工具定价、资产定价等等,也将起到比较好的作用。尽管采用学生t 分布和GED 分布能够比较好地捕捉金融时间序列中常见的厚尾现象,但是它们属于对称分布,无法捕捉序列的不对称性。然而偏度对于一些金融实际应用也是相当重要的,如资产定价模型、组合选择、期权定价等。因此可以考虑将非对称分布(如非对称学生t分布)引入到FIGARCH 模型框架中，因为这一分布同时具有厚尾和偏斜的特征，曾被引入到GARCH模型中。Lambert和Laurent(2001)发现非对称学生t 分布比对称分布更适合NASDAQ指数建模,因此非对称学生t 分布分布可能更适合收益率分布偏度较大的金融市场。
　　
　　参考文献
　　
　　〔1〕Baillie R T,Bollerslev T,Mikkelsen H O. Fractional integrated generalized autoregressive conditionalheterosked asticity〔J〕. Journal of Econometrics, 1996, 74: 3～30.
　　〔2〕Engle, R. F., Autoregressive Conditional Heterosked asticity with Estimates of the Variance of U. K. Inflation〔J〕, Econometrica,1982, 50, 987~ 1008.
　　〔3〕张世英, 樊智. 协整理论与波动模型—— 金融时间序列分析及应用〔M〕. 北京: 清华大学出版社,2004.〔4〕杜子平, 张世英. 向量GARCH 过程协同持续性研究〔J〕. 系统工程学报, 2003, 18 (5) : 385～ 390.
　　〔5〕许启发, 张世英．向量FIGARCH 过程的持续性〔J〕. 系统工程，2005，23 (7).
　　〔6〕李克娥，陈圣滔. 基于不同分布假设的GARCH 模型对上证指数风险值预测能力的比较研究〔J〕. 太原师范学院学报(自然科学版),2006,(6).
　　〔7〕高铁梅. 计量经济分析方法与建模——Eviews应用及实例〔M〕. 北京: 清华大学出版社,2006.
　　〔8〕Lambert, Laurent, Modeling Financial Time Series Using GARCH-Type Models and a Skewed Student Density 〔J〕,Discussion Paper, 2001.
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