资金时间价值计算巧解

一、一次性收付款项的计算
一次性收付款是指在某一特定时点上一次性支付（或收取），经过一段时间后再相应地
一次性收取（或支付）的款项。如，年初存入银行一年定期存款1000元，年利率为10%，年末取出1100元，就属于一次性收付款项。
由于计息方式不同，对于一次性收付款项的计算涉及两种：
（一）单利终值、现值计算
[例1]假设现在的1元钱，年利率为10%，计算第1年到第n年年末的本利和（终值）（分别用单利和复利计息）。单利计算，见下表一：
期限 到期本利和 到期前累计利息
1年期 1+1×10%=1.1 0.1
2年期 1+1×10%×2=1.2 0.2
3年期 1+1×10%×3=1.3 0.3
.
.
N年期 1+1×10%×n n×0.1


表一 单利计算终值 单位:元
由此推出：
1.单利终值：F=P+P×i×n=P× (1+n×i)
其中，i为利率，n为期数，以下全部相同。
2.单利现值：P= F/（1+ n×i）
上述两种运算互为逆运算,由终值求现值的过程也叫贴现。
(二)复利终值、现值的计算
见上例：复利计算见下表二

期限 到期本利和 到期前累计利息
1年期 1+1×10%=1.1 0.1
2年期 [1×（1+10%）]（1+10%） 0.21
3年期 [1×（1+10%）2]（1+10%） 0.33
.
.
N年期 1×（1+10%）n 1×（1+10%）n-1


表二 复利计算终值 单位：元
由此推出：
1.复利终值：F=P×（1+i）n
其中，（1+i）n称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示
2.复利现值：P=F/（1+i）n= F×（1+i）-n
其中，（1+i）-n称为复利现值系数，用符号（P/F，i，n）表示
[例2]某人持有一张带息票据，面额为2000元，票面利率为5%，出票日期为8月12日，到期日为11月10日（90天），计算持有该票据至到期日可得的本息总额。
【解答】 本息总额=2000╳（1+90/360╳5%）=2025元
[例3]某人准备购房，开发商提出2个方案：方案一是现在一次性付80万元；方案二是5年后付100万元，若目前银行贷款利率为7%（复利计息），要求计算比较哪个付款方案有利。
【解答】由于利息的存在，不能直接比较，把利息的因素扣除掉，要算到同一个时点，即可比较两方案的现值。
方案1：P=80万元
方案2：P=80╳（F/P，7%，5）=112.208万元
所以，应选择方案1。

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[1]电大学习网.免费论文网[EB/OL]. /d/file/p/2024/0425/fontbr二、年金的计算br />年金是指一定时期内每次等额收付的一系列款项。它必须具有2个特点：一是定期收付；二是金额相等。如，我们日常生活中的租金、养老金、保险金、分期付款等都属于年金方式，一般用“A”表示年金。
年金按收付的次数和支付时间点不同分为四种形式：普通年金、即付年金、递延年金和永续年金。
对于年金的计算同样也是涉及到终值和现值的计算，在这四种年金中，最重要的是普通年金终值和现值的计算，其它三种年金的计算可以通过一定的方式转化为普通年金的计算。
（一）普通年金的计算
普通年金又称为后付年金，收或支发生在每期期末的年金。
1.终值的计算（已知年金A，求F）
年金终值类似于零存整取的本利和，指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。
例：假定i=10%,n=3,A=100元，第三年年末的普通年金终值为多少？






注： 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一期期末的100元，应赚得2期利息，因此，到第三期期末其值为121元；第二期期末的100元，应赚得1期的利息，因此到第三期期末其值为110元；第三期期末的100元，没有计息，其值为100元。整个年金终值为100×1.0+100× (1+10%)1+100× (1+10%)2=331元
由上例，推广到n期的普通年金终值的计算如下：











F=A+A·(1+i)+A·(1+i)2+……+ A·(1+i)n-1= A·
其中 为年金现值系数，用符号（F/A，i,n）表示。
[例4]张先生每年年末存入银行1000元,连存5年,年利率为10%,则5年满期后,张先生得到的本利和是多少?
【解答】
F=1000× =1000×(F/A,10%,5)=1000×6.1051=6105.1元

2.年金现值的计算(已知A，求P)
现在已知年金终值,可由年金终值的计算公式推导出年金现值的计算公式,如下图：







注：一系列款项的价值=最后一笔款项的价值，可以计算最后一笔款项的现值，也就等于一系列款项的现值。
∴P=A· ×（1+i）-n=A·
由此推导出年金现值的计算公式:
P= A·
其中： 为年金现值系数，用符号（P/A，i,n）表示。
(二)即付年金
即付年金也称为预付年金或先付年金，收或支发生在每期期初的年金。
即付年金也涉及到终值和现值的计算，并且通过转化为普通年金，即可求出即付年金终值和现值。
1.终值计算
分两步走：假设向前递延一年及第n期有一笔年金的收或付， 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一步先计算n+1期的普通年金，第二步再去掉终值点的年金。







∴F=A·（F/A，i,n+1）- A=A·[（F/A，i,n+1）-1]
即付年金终值系数和普通年金相比，期数加1，系数减1。
2.即付年金现值的计算
分两步走：假设向前递延一年， 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一步先计算n期普通年金现值，第二步再向后调整一期。






∴P=A· ·（1+i）
=A· +1
=A·[（P/A，i，n-1）+1]
即付年金现值系数和普通年金相比，期数减1，系数加1
[例5]孙女士看到在邻近的城市中，一种品牌的火锅餐馆生意很火爆。她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆，于是找到业内人士进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分次支付，得到的答复是如果分次支付，必须从开业当年起，每年年初支付20万元，付3年。三年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权的授予。假设孙女士现在身无分文，需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获得年利率为5%的贷款扶持。请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付?
【解答】 如分次支付，则3年的终值为：
F=20×[（F/A，5%，4）-1]=20×（4.3101-1）=66.202(万元)
如一次支付：
F=50×（F/P，5%，3）=50×1.1576=57.88(万元）
所以应一次性支付对孙女士有利。
[例6] 张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
【解答】P＝A·[（P/A，i，n-1）＋1]＝15000×[（P/A，6%，9）＋1]
　　 ＝15000×（6.8017＋1）＝117025.5（元）
（三）递延年金的计算
递延年金是指 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一期不发生款项的收付，递延若干期以后才会出现的年金，是普通年金的一种特殊形式。（收或支也发生在每期期末）
1.递延年金终值的计算：
与普通年金终值计算一样，F=A×（F/A，i,n）
2.递延年金现值的计算：
方法一：分阶段折现，把递延期以后的年金利用普通年金公式求现值，这是求出来的现值是 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一个等额收付前一期期末的数值，距离递延年金的现值点还有n期，再向前按照复利现值公式折现n期即可。计算公式如下:
P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
方法二：假设递延期m中进行支付,计算出m+n期的普通年金现值，然后扣除实际并未支付的前m期的普通年金，计算公式如下：
P=A（P/A，i，m+n）-A（P/A，i，m）=A[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
方法三: 先求递延年金终值，再折现为现值。
　　 P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
【例7】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：
　　1.从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；
　　2.从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；
　　3.从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。
　　假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
【解答】P1=20×（P/A，10%，10）×（1+10%）=135.18万
P2=20×[（P/A，10%，10）] ×(P/F,10%,4)=104.93万
P3=24×[（P/A，10%，13）-（P/A，10%，4）]110.78万
所以,公司应采用第二种付款方案
(四)永续年金
永续年金也是普通年金的一种特殊形式，它实际上是一种永远继续下去的年金，所以它没有终值点，只有现值点，即没有终值的计算，只有现值的计算
永续年金现值的计算
P=A·
N→∞,(1+i)-n极限为0
∴P=A/i
[例8〕某学校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发2000元奖学金。若利率为10%，则现在应存入多少钱？
　【解答】　Ｐ＝A/i=2000÷10%=200 000(元）