数学“非常规命题”教学应得到足够的重视

　　有一种用命题形式给出一个数学问题,要判断它是错误的,只要列举一个满足命题的条件,但结论不成立的例子,就足以否定这个命题,这样的例子就是通常意义下的反例,私下称之为“非常规命题”,但是这种教学法,在近几年的数学教学中,我对它的教学的感触也非常深刻,我觉得反例教学既有其极其重要的作用,也有其在实施的过程中需要注意的环节。就其需要注意的问题和作用笔者在此发表自己一点的看法。
　　
　　一、实施反例教学要注意的问题
　　
　　1.注意反例教学的引入。
　　根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
　　2.注意反例教学的构建。
　　教师在进行教学时,不但要适当地使用反例,更重要的是要善于引导学生构建反例,这实际上是为学生创设了一种探索情景,又由于在通常情况下,许多反例的构建不是惟一的,这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解,并调动他们全部的数学功底,充分展开想象,因此,构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。
　　3.注意反例教学的逐层深入性。
　　在教学时,反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行,把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
　　例如在教学三角形全等的判定定理时,学生在掌握基本的几个判定定理(SSS,SAS,ASA,AAS)后,教师可让学生判断:三个角对应全等的三角形全等;有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举,例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题,教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定∠A=∠‘A’,AC=A‘C’,在此基础上引导学生进一步思考若BC=B‘C’=a,说明BC或B‘C’可以通过以下作图方法来画出:以C或者‘C’为圆心,a为半径画弧,a只要满足一定的条件,此时所画的弧就很可能与AB或者A‘B’所在的直线有两个交点,这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。
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二、反例教学的重要作用
　　
　　数学是一门严谨的学科,解决数学问题的思维过程应是缜密的。教师可以把以往学生易犯的错误设置成反例,有针对性地培养学生思维的缜密性。
　　判断:对于任意的自然数 n,n2-n+11一定是质数。
　　对于反例的列举,学生最容易想到的办法的就是代入几个特殊的数值进行计算。对于这一题,假如从 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一个自然数0开始代入验证,我们发现结论是正确的,以后继续代数,一直到10结论也都是正确的。学生往往还没有代到10就已认为结论是正确的了。因为对于代值验证的问题,我们通常能代入3、5个值验证都已经很不错了。这一题反例的构建需要从式子本生的角度去思考,通过对式子的观察,大部分学生不难得出n=11时,n2-n+11就已经不是质数了。
　　在此,常用的构造反例的特殊值法却行不通了,因此反例构建的过程其实也是学生多角度思考问题的一个过程,注重反例教学的适当的引入不但能使学生发现错误和漏洞,而且还可以修补相关知识,学会多角度考虑问题,从而提高思维的全面性。反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动,是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。
　　在上述反例的探索过程中,学生在新的问题情景中,能享受到创造的乐趣,从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力,培养学生思维的创新性。反例教学还是培养学生发散思维的很好的一种教学方式。
　　在学完正多边形以后,学生们都知道了正多边形的一些性质,例如:正多边形的所有的边都相等,所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解,教师可以从反面进行巩固。
　　判断:(1)所有边都相等的多边形一定是正多边形,(2)所有角都相等的多边形一定是正多边形。
　　(1)和(2)都是错误的,例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是,除此之外,还有没有其余的反例呢?教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实,所有边都相等的多边形都是正多边形的反例有无数多个,例如我们可以先做一个正多边形(不是正三角形),利用这些正多边形具有的不稳定性,它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等,但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例,其实也是有无数个。
　　对此正五边形下面的一条边进行某种平行移动(如图),在移动的过程中,始终可以保持内角都是相等的,然而却会出现不是正多边形的情形。在这个问题中,后面的反例的列举难度显然增加了,然而学生却可以通过此题更加加深对多边形性质正反两方面的理解,另外列举反例的过程也是学生发散性思维充分发挥和展示的一个过程。

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