一类DEA模型的应用研究

      〔摘要〕 评价具有模糊性，模糊数学中模糊综合评价可以很好地表达这种状况，但是模糊综合评价在应用中具有一定的局限性，主要包括指标权重的分配和评价单元之间的相关性问题。DEA模型则在这两个方面有很好的应用，可以将主观判断以客观的形式进行运算，因此将二者结合起来有利于提高评价的科学性和有效性。
　　〔关键词〕 模糊综合评价； DEA； 集成
　　　
　　１引言
　　自从１９６５年Ｚａｄｅｈ提出模糊数学以来〔１〕，决策评价领域就展开了多方面的应用研究，其中一个重要的研究方向就是模糊综合评价。模糊综合评价就是在已有经典评价的基础上加入模糊数学的评价元素进行评价〔２〕。这样做的优势是很明显的，因为人类所思考的问题很大一部分就是模糊的，不确定的，特别是面对复杂的定性问题时更是如此。模糊综合评价方法在许多领域里得到应用，优势虽然明显〔３〕，但是在模糊综合评价过程中也存在着一定的局限性，比较明显的有以下两点： 论文检测天使-免费论文检测软件http://www.jiancetianshi.com
第一，评价各因素的权重分配主要靠人的主观判断，而当因素较多时，给出权重的大小往往是一件困难的事〔４〕。第二，模糊综合评价方法仅从被评价单元自身的角度进行评价，没有考虑各评价单元之间的相关性，而事实上各评价单元是相关的。如果充分依据同类单元间的这种联系，不仅可以发现被评价单元在同类单元中的相对有效性，而且还能根据同类单元提供的信息发现被评价单元的弱点，提出较差单元进一步改进的策略和办法〔５〕。
　　另外，数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）作为一种效率评价工具，在决策评价中也得到了大量应用，可以看出在ＤＥＡ的应用过程中，最关键的步骤就是输入／输出指标体系的确定和各决策单元在相应指标体系下的输入输出数据的搜集与获得。目前已有的ＤＥＡ模型由于所涉及的指标体系是确定的，所涉及的投入产出数据是确定已知的，所以目前的模型大都是确定型的。然而许多领域的评价和决策问题都存在着大量的不确定性，对于这些领域中的决策问题，确定型的ＤＥＡ模型就存在着缺陷和不足〔６〕。
　　从以上论述可以看出，模糊综合评价可以解决ＤＥＡ模型中的数据输入、输出问题，而ＤＥＡ则可以解决模糊综合评价中评价权重的设定和评价单元的相关性问题。这是因为ＤＥＡ评价单元是不是有效是相对于其他所有决策单元而言的。特别是，它把决策单元中各输入和输出的权重作为变量，通过对决策单元的实际原始数据进行计算而确定，排除了人为因素，具有很强的客观性。也就是说，该方法中各个评价对象的相对有效性是在对大量实际原始数据进行定量分析的基础上得来的，从而避免了人为主观确定权重的缺点。因此，本文将模糊综合评价与数据包络分析方法相结合，提出了基于模糊综合评价的ＤＥＡ评价方法，并结合其在粮油加工企业油品质量评价中的应用进行了讨论。
　　２模糊ＤＥＡ模型
　　如果一个评价对象相对于各因素的评价具有一定的模糊性，那么就需要运用模糊数学表达，模糊综合评价来研究。设Ｗ ＝ ｛ｗ１，ｗ２，ｗ３，…，ｗｋ｝为评价对象集，ｋ为评价对象个数；Ｕ ＝ ｛ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ｝为为评价因素集，ｍ为评价因素个数；Ｖ ＝ ｛ｖ１，ｕ２，…，ｖｎ｝为评价等级集，ｎ为评价等级个数。
　　对每一个评价对象，有模糊关系矩阵Ｒ，称为某一评价对象的评价矩阵。
　　Ｒ ＝ Ｒ１Ｒ２Ｒｍ = ｒ１１ｒ１２…ｒ１ｎｒ２１ｒ２２…ｒ２ｎｒｍ１ｒｍ２… ｒｍｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｍ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）
　　式中，ｒｉｊ为Ｕ中因素ｕｉ对应Ｖ中等级ｖｊ的隶属关系，即从因素ｕｉ着眼被评价对象能被评为ｖｉ等级的隶属程度，可以通过二维模糊统计法来确定，具体来说就是评委在某个等级上选择的人数占总评委人数的比值。
　　对某个评价因素来说，则有一模糊关系矩阵Ｑ，称为某一评价因素的评价矩阵。
　　Ｑ ＝ Ｑ１Ｑ２Ｑｍ = ｑ１１ｑ１２…ｑ１ｎｑ２１ｑ２２…ｑ２ｎｑｋ１ｑｋ２…ｑｋｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｋ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）
　　式中，ｑｉｊ为Ｗ中对象ｗｉ对应Ｖ中等级ｖｊ的隶属关系，即从对象ｗｉ着眼被评价因素能被评为ｖｉ等级的隶属程度，也可以通过二维模糊统计法来确定。
　　模糊ＤＥＡ方法是在ＤＥＡ方法的基础上建立起来的。ＤＥＡ方法是根据决策单元的输入和输出实测数据来估计有效生产前沿面的。其中，Ｃ２Ｒ模型是ＤＥＡ最早提出也是应用最为广泛的模型。以下采用此模型进行讨论。选取需要评价的对象（针对某因素而言）或因素（针对某对象而言）作为ＤＥＡ的决策单元，以其评价矩阵的转置矩阵作为ＤＥＡ决策单元的输入和输出矩阵。需要说明的是，评语的个数ｎ因具体问题及其要求不同，取值也不一定。如ｎ ＝ ３（如优秀、合格、不合格）；ｎ ＝ ４（如优、良、中、差）；ｎ ＝ ５（如优、良、中、及格、不及格）等。而且具体取哪些等级为ＤＥＡ的输入，哪些等级为ＤＥＡ的输出，评价结果也会有一些差异。对于一个决策单元，它有ｔ种类型的输入以及ｓ种类型的输出。ｔ ＋ ｓ ＝ ｎ，ｎ为评语个数，见表１。
　　 其中，以评价对象为决策单元时ｌ ＝ ｋ；以评价因素为决策单元时ｌ ＝ ｍ；ｖ１，ｖ２，…，ｖｔ为ＤＥＡ输入的权重；ｕ１，ｕ２，…，ｕｓ为ＤＥＡ输出的权重。记Ｘｊ ＝ （ｘ１ｊ，ｘ２ｊ，…，ｘｉｊ）Ｔ，Ｙｊ ＝ （ｙ１ｊ，ｙ２ｊ，…，ｙｓｊ）Ｔ， ｊ ＝ １，２，…，ｌ；则可用（Ｘｊ，Ｙｊ）表示第ｊ个决策单元。相应于权系数，Ｖ ＝ （ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ）Ｔ，Ｕ ＝ （ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ）Ｔ，每一个决策单元都有相应的效率评价指数ｈｊ ＝ （ＵＴＹｊ）／（ＶＴＸｊ），总是可以适当地选取权系数Ｖ和Ｕ，使ｈｊ ≤１。
　　对于第ｊ０个决策单元进行效率评价，以第ｊ０个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元（包括第ｊ０个决策单元）的效率指数为约束，构成最优化模型。原始的Ｃ２Ｒ模型是一个分式规划，当使用Ｃｈａｒｎｅｌ－Ｃｏｏｐｅｒ变化时，可将分式规划为一个等价的线性规划（ＬＰ）问题。
　　相应于第ｊ０（１ ≤ ｊ０ ≤ ｌ）个决策单元的线性规划模型为：
　　ｍａｘ ＵＴＹｊ０ｓ．ｔ． ＶＴＸｊ － ＵＴＹｊ ≥ ０，ｊ ＝ １，２，…，ｌ ＶＴＸｊ０ ＝ １ Ｖ ≥ ０，Ｕ ≥ ０
　　用线性规划的最优解来判断决策单元ｊ０的有效性。利用上述模型评价决策单元是不是有效是相对于其他所有决策单元而言的，决策单元间的相对有效性也即决策单元的优劣。另外，还可以获得许多其他有用的管理信息，这些信息可以找出较差单元无效的原因，并能为较差单元的改进提供策略和办法。上面讨论的是针对单因素的多对象评价和单对象的多因素评价，但是一般还要得到最终的多因素、多对象评价结果。
　　假如要评价ｋ个对象，即评价系统的决策单元有ｋ个。针对某个因素而言，首先统计评委对这ｋ个对象在该因素的等级比重，方法同传统的模糊综合评价。对某个评价对象来说，可以得到一个线性规划模型，一共可以得到ｋ个线性规划模型。这ｋ个线性规划模型的最优目标函数值，即为这ｋ个评价对象在该因素上的评价结果。对ｋ个对象所有因素（假设有ｍ个），分别进行计算，按被评价者将其ｍ个结果相乘（加），其积（和）可作为对该对象的总的评价结果。
　　[8]电大学习网.免费论文网[EB/OL]. /d/file/p/2024/0425/fontbr />　　对某个对象来说，即整个评价系统的一个子系统而言。取ｍ个评价因素为该子系统的决策单元，则在评委的等级比重的基础上，方法与上面相同，对每个因素都将对应有一个线性规划模型，ｍ个因素将需解ｍ个线性规划。这样求得某对象每个因素的最优目标函数值。它刻画了该对象在每个因素上的表现，从而可以发现某对象的优点和弱点。对所有对象（假设有ｋ个），在ｍ个因素上的表现分别进行计算，可以观察到每个对象在所有因素上的具体表现。
　　由此可见，这种集成评价方法，最终不仅可以观察到每个对象在所有因素上的具体表现，而且可以得到每个对象在所有因素上表现的总的评价结果。
　　３算例
　　假如要对多家粮油加工企业的油品质量进行综合评价，对油品质量这个定性指标而言，选择１０个评委，按很好、好、一般、差4个等级对被评价的粮油加工企业，在该因素上的表现做模糊综合评价。在本算例中仅选５家粮油加工企业进行讨论。表2中的数据是１０个评委在某粮油加工企业在某等级上选择的人数，现以差、一般为ＤＥＡ的输入，以好、很好为ＤＥＡ的输出进行讨论。
　　对每一个粮油加工企业（决策单元）都将得到一个线性规划模型。对企业１而言，有ＬＰ１：
　　ｍａｘ ７ｐ１ ＋ １ｐ２
　　ｓ．ｔ． ２ｑ２ － ７ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０
　　 ４ｑ２ － ６ｐ１ ≥ ０
　　 １ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ６ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０
　　 １ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ７ｐ１ ≥ ０
　　 １ｑ２ － ８ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０
　　 ２ｑ２ ＝ １
　　 ｑ１， ｑ２， ｐ１， ｐ２ ≥ ０
　　同理可得其他4个企业对应的线性规划模型。通过基于Ｅｘｅｃｌ平台的用ＶＢＡ语言编写的解ＤＥＡ模型的软件计算得出5个线性规划的最优目标函数值，结果详见表３。
　　表3中ＤＭＵ代表粮油加工企业，Ｓｃｏｒｅ代表最优目标函数值，代表这5个粮油加工企业在油品质量因素上的表现。
　　４结论
　　基于模糊综合评价方法的ＤＥＡ模型，由于应用了ＤＥＡ模型，直观性好，避免了人为确定权重的缺点，从而增强了模糊综合评价结果的客观性。它不仅可以考察每个对象在多个因素上的表现，指出评价单元的优点和弱点，以便进行进一步改进和完善，而且可以把一组对象作为一个整体进行关于某个因素的评价，然后进行综合。由于它把多个评价对象放在一起进行讨论计算，所以可比性很强，评价效率很高。需要注意的是，由于ＤＥＡ方法本身的原因，要求每个决策单元都应有输入和输出，否则，将导致评价方法失效。解决的办法是将评价矩阵初始化，即先把评价矩阵各元素均设为１，然后在此基础上追加原评价矩阵，产生新的评价矩阵。可能有人认为使用线性规划增加了原模糊综合评价的复杂程度和计算难度，其实在计算机技术十分发达的今天，作矩阵运算、求解线性规划是计算机的强项，由于不像原来一个一个地对对象进行评价，而是把很多对象放在一起进行计算，所以该评价方法恰恰减少了评价的工作量，提高了评价的效率。因此，本文认为基于模糊综合评价方法的ＤＥＡ模型是一种值得推荐的更为有效的评价方法。
　　
　　主要参考文献
　　
　　〔１〕 Ｌ Ａ Ｚａｄｅｈ． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ〔Ｊ〕． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９６５，８（３）：３３８－３５３．
　　〔２〕 Ｄ Ｄｕｂｏｉｓ， Ｈ Ｐｒａｄｅ． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ：Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ〔Ｍ〕． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９８０．
　　〔３〕 汪培庄． 模糊集合论及其应用〔Ｍ〕． 上海：上海科学技术出版社，１９８３．
　　〔４〕 汪培庄，韩立岩． 应用模糊数学〔Ｍ〕． 北京：北京经济学院出版社，１９８９．
　　〔５〕 诸克军，张新兰，肖荔勤． Ｆｕｚｚｙ ＡＨＰ方法及应用〔Ｊ〕． 系统工程理论与实践，１９９７，１７（１２）．
　　〔６〕 Ａ Ｃｈａｒｎｅｓ，Ｗ Ｗ Ｃｏｏｐｅｒ，Ｅ Ｒｈｏｄｅｓ． Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｍａｋｉｎｇ Ｕｎｉｔｓ〔Ｊ〕． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ， １９７８， ２（６）： ４２９－４４４．
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