私募股权基金业绩评价的信度函数模型》

【摘 要】 文章应用Dempster和Shafer提出的证据理论，研究了私募股权基金的业绩评价问题，得到了私募股权基金业绩评价的信度函数模型。首先讨论了私募股权基金业绩评价指标的确立，进而讨论了在业绩评价指标体系确立以后，如何针对这些指标（包括定性指标和定量指标）通过打分或者其他适当的方法，将每项指标的评价定量化；之后，再根据信度函数的理论将这些评价综合，得到衡量业绩的一个综合指标。该综合指标可以用于基金排名，可以帮助投资经理选择基金，也可以帮助基金管理人了解自己的情况，还可以为政府或行业协会了解基金提供依据。

一、引言

　　私募股权基金的业绩评价是PE行业一个非常重要而又非常棘手的问题。

　　我们知道，私募股权投资在当今世界经济中占有非常重要的地位。据统计，2006年全球私募股权筹资总额达到4 320亿美元。2008年全球私募股权基金管理的资产规模已达到10 000亿美元①。

　　近年来，中国的私募股权投资取得了巨大发展。可以说，中国已成为亚洲最为活跃的私募股权投资市场。2008年，中国的私募股权投资案例607个，投资金额42.1亿美元。2009年，由于金融危机的影响，投资规模略有下降，投资案例数下降为477个，投资金额27.01亿美元②。2010年，中国私募股权市场迎来了强劲反弹，全年共发生投资案例数1 179起，投资金额252.81亿美元③。

　　因此，现在世界上很多大的机构投资者都想涉足这个投资领域，都想在他们的投资组合中加入私募股权投资。现在从事私募股权投资的公司数不胜数。即使是在中国PE基金也是越来越多，如何在如此众多的PE基金中选出“好”基金用于投资，确实不是一件容易的事。

　　选择“好”的基金，当然需要了解什么是“好”基金，用什么标准来衡量一支基金是“好”还是“坏”，即首先要解决基金如何评价的问题。

　　会计学近3年论文/d/file/p/2024/0424/PP　　私募股权基金的业绩评价在国外有较多的讨论，也有文献介绍了常用的业绩评价指标和方法。

　　Thomas Meyer & Pierre-Yves（2005，2007）讨论了私募股权基金收益的J曲线现象而且定义了多个衡量业绩的定量指标（如内部收益率IRR、回报倍数等）和多个定性指标（如管理团队的技能、管理团队的稳定性、管理团队的动机等）。Ljungqvist & Richardson（2003）定义了另一个业绩评价指标获利指数PI。PI=投资者所获得的现金流的现值/投资者所投资的资本现值。计算现值所用的贴现率的选择有不同的标准。有人统一选择某一个利率作为分子和分母的贴现率，如标准普尔500的市场收益率；也有人针对分子分母选择不同的利率，如选择资本成本率（市场期望收益率）作为分母的贴现率，选择无风险利率（国债利率）作为分子的贴现率。Kaplan and Schoar（2003）应用PME作为一项衡量私募股权投资基金收益水平的新工具。按照他们的定义和解释，PME是所有现金流出与现金流入的贴现值之比。此处贴现率选自某个基准市场的同期收益率。因此，若PME＞1，则说明私募股权投资基金的业绩是优于所选的基准市场的。

　　Mark Weisdorf（2005）（包括在Private Equity International（2005））讨论了业绩评价存在的问题，总结了业绩评价的一些指标和方法。他认为业绩评价必须采取定性和定量相结合的方法。对于短期评价应主要采取定性的指标进行分析，而对于长期评价则可以采用定量指标为主的方法。

　　对于短期评价，他建议主要采用定性分析。他列举了如下几个方面：

　　·投资主体及战略

　　·投资进展

　　·投资成本

　　·被投资企业的经营情况和财务状况

　　·为被投资企业提供的增值服务

　　·信息披露与投资者关系

　　·公司治理与激励

　　·人事变动

　　对于长期评价，他建议主要采用定量分析并用内部收益率IRR和资本回报倍数MOC作为评价指标。当然，他也指出了建立业绩评价标杆的困难和问题。

　　本文借鉴前述文献的研究成果，讨论在业绩评价指标体系确立以后，如何针对这些指标（包括定性指标和定量指标）通过打分的方法，将每项指标的评价定量化；之后，再根据信度函数理论将这些评价综合起来，得到衡量业绩的一个综合指标。该综合指标可以用于基金排名，此排名比用单个指标，比如IRR的排名更客观、更综合。另外，该指标以及本文讨论的方法对帮助机构投资者选择基金有很大的参考价值。在基金管理公司内部，该指标可作为基金经理或者投资经理业绩考核的依据。最后，该指标对政府或行业协会等监管机构了解基金也会有一定的帮助作用。

　　三、信度函数简介

　　信度函数是证据理论或Dempster-Shafer理论中的重要概念。

　　证据理论是Dempster和Shafer于20世纪六七十年代创立的。文献Shafer（1976）详细讨论了证据理论的基本概念和理论，提出了基本信度分配、信度函数的定义以及信度函数合成的Dempster法则。笔者（1996）将证据理论应用于决策领域，提出了证据决策的概念并得到了应用证据理论作决策的函数模型。

　　基本信度分配是一个满足一定条件的识别框架上的函数。

　　设?专是识别框架。如果集函数m：2?专→〔0，1〕满足：

　　（1）m（?准）=0

　　（2）∑A∈?专m（A）=1

　　则称m为框架?专上的基本信度分配；?坌A∈?专，m（A）称为A的基本信度值。

　　信度函数是在基本信度分配的基础上定义的。

　　设?专是识别框架。如果m是一个框架?专上的基本信度分配，则称满足条件?坌A∈?专，Bel（A）=∑B∈Am（B）的函数Bel为框架?专上的信度函数。

　　设?专是识别框架。如果m是一个框架?专上的基本信度分配，则称满足条件?坌A∈?专，Com（A）=∑A∈Bm（B）的函数Com为框架?专上的众信度函数。

　　可以证明：信度函数与众信度函数可以相互定义。

　　?坌A∈?专，Bel（A）=∑B∈A（-1）|B|Com（B）

　　?坌A∈?专，Com（A）=∑B∈A（-1）|B|Bel（B）

　　因此，信度函数与众信度函数所承载的信息是相同的。

　　本文用众信度函数作为评价的依据。

　　四、私募股权基金业绩评价的信度函数模型

　　（一）业绩评价指标得分

　　前已述及，私募股权基金业绩评价可从多个方面进行，既有定性分析又有定量分析。对于定量指标，如内部收益率r，可以假设内部收益率的某种标杆，比如说，行业标准为B。对于此指标，可以通过如下方法得到基金在该项指标上的得分p。

　　对于其他定量指标，都可以依据此方法定义基金在该项指标上的得分。

　　对于定性指标，可以咨询有关专家得到一个该项指标的评分。打分原则是：专家可以根据基金的具体情况，打出一个具体分数，比如说，85；或者给出一个分值的范围，比如说，85~95，75以上，或者65以下等。

　　显而易见，这种打分的方法更加符合人类专家的习惯，更容易，更科学。不一定非要专家说出一个具体值。因此，对专家而言，他们也愿意合作，认真思考，从而给出较客观的结论。

　　经过定性指标的打分和定量指标的标杆分析，得到了每一个指标的一个分值。不过，这些分值与传统打分分值不同，不是单一绝对值，而是一个一个的分值范围。

假设，为了评价一个基金的业绩，选取了10个指标，所得到的每项指标的分值情况如下所示：

　　指标1：75分以上，可表示为75≤x≤100，其中x为得分变量（下同）。

　　指标2：85到95之间，可表示为85≤x≤95。

　　指标3：76分，可表示为x=76，或者76≤x≤76。

　　指标4：50分以下，可表示为0≤x≤50。

　　指标5：90分以上，可表示为90≤x≤100。

　　指标6：75到85之间，可表示为75≤x≤85。

　　指标7：85分，可表示为85≤x≤85。

　　指标8：不到90分，可表示为0≤x≤90。

　　指标9：差不多85分（上下5分），可表示为80≤x≤90。

　　指标10：88分，可表示为88≤x≤88。

　　由此，可以得到一个得分矩阵

　　A=75 10085 9576 76 0 5090 10075 8585 85 0 9080 9088 88

　　（二）权重分配

　　接下来，可以为每个指标分配一个权重，以表示指标之间的相对重要性。有很多方法可以用于权重的设置。笔者（2011）曾经应用层次分析法讨论了指标权重的确立。以下假设已经根据某种方法得到了例中10个指标的权重：B=（a1，a2，…，a10），其中a1，a2，…，a10满足

　　m（75≤x≤100）=a1

　　m（85≤x≤95）=a2

　　m（76≤x≤76）=a3

　　m（0≤x≤50）=a4

　　m（90≤x≤100）=a5

　　m（75≤x≤85）=a6

　　m（85≤x≤85）=a7

　　m（0≤x≤90）=a8

　　m（80≤x≤90）=a9

　　m（88≤x≤88）=a10

　　据此，可以计算框架?专上的每一个子集的众信度。

　　如果计算框架?专上的所有子集的众信度，不仅计算成指数增长，而且对此特定问题也没有多大必要。为此，采取如下方法，只计算众信度不为零的子集的众信度值。

　　用MATLAB语言实现的程序如下：

　　function〔MAX Com a b〕=COMALLMAXADJ（A，W）

　　% COMALLMAX is used to find the interval with maximum commonality value.

　　% A is the interval matric of basic probability assignment

　　% W is the weight vector

　　% First output is the maximum commonality itself

　　% Second output is the combined score

　　% 〔a，b〕 is the minimum and maximum values with maximum commonality value

　　MAX=0；

　　for i=0：100

　　 for j=i：100

　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；

　　 if C>=MAX

　　 MAX=C；

　　 end

　　 end

　　end

　　a=10000；

　　for i=0：100

　　 for j=i：100

　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；

　　 if C==MAX

　　 if i==0

　　 a=0；

　　 else

　　 f（i，j）=i；

　　 g（i，j）=j；

　　 end

　　 end

　　 end

　　end

　　m=f（：）；

　　n=g（：）；

　　p=（m~=0）；

　　q=（n~=0）；

　　if a~=0

　　 a1=min（m（p~=0））；

　　 a2=min（n（q~=0））；

　　 a=min（a1，a2）；

　　end

　　b1=max（m）；b2=max（n）；

　　b=max（b1，b2）；

　　Com=（a+b）/2；

　　（四）模型测试

　　本系统综合得分的计算用程序COMALLMAXADJ来完成。此程序的设计思想是：计算所有有关子集的众信度并从中找出众信度最大的子集作为决策结果。以下用具体例子来说明：

　　1.测试例一

　　假设得分矩阵A如下：

　　A=

　　 70 72

　　 72 73

　　 69 72

　　相应的权重为w=

　　 0.2000 0.3000 0.5000

　　手工计算所有众信度不为0的子集，结果为：

　　 69.0000 69.0000 0.5000

　　 69.0000 70.0000 0.5000

　　 69.0000 71.0000 0.5000

　　 69.0000 72.0000 0.5000

　　 70.0000 70.0000 0.7000

　　 70.0000 71.0000 0.7000

　　 70.0000 72.0000 0.7000

　　 71.0000 71.0000 0.7000

　　 71.0000 72.0000 0.7000

　　 72.0000 72.0000 1.0000

　　 72.0000 73.0000 0.3000

　　 73.0000 73.0000 0.3000

　　其中第三列为相应的众信度。从第三列中找出最大值为1，对应的子集为{72}。因此，决策结果应为72。

　　运行程序COMALLMAXADJ，得到的结果也是72，因此，此例通过了测试，见下面的运行结果。

　　>>〔max com a b〕=COMALLMAX（A，w）

　　max=

　　 1

　　com=

　　 72

　　a=

　　 72

　　b=

　　 72

　　2.测试例二

　　假设得分矩阵B和权重W如下：

　　B=

　　 70 71

　　 72 73

　　 69 72

　　W=

　　 0.2500 0.2500 0.5000

　　手工计算所有众信度不为0的子集，结果为：

　　 69.0000 69.0000 0.5000

　　 69.0000 70.0000 0.5000

　　 69.0000 71.0000 0.5000

　　 69.0000 72.0000 0.5000

　　 70.0000 70.0000 0.7500

　　 70.0000 71.0000 0.7500

　　 70.0000 72.0000 0.5000

　　 71.0000 71.0000 0.7500

　　 71.0000 72.0000 0.5000

　　 72.0000 72.0000 0.7500

　　 72.0000 73.0000 0.2500

　　 73.0000 73.0000 0.2500

　　从第三列可以看出子集{70}，{70，71}，{71}，{72}的众信度全为0.75。在这种情况下，决策集应该如何选取呢？

　　运行程序COMALLMAXADJ，得到如下结果：

　　>> 〔max com a b〕=COMALLMAXADJ（B，W）

　　max=

　　 0.7500

　　com=

　　 71

　　a=

　　 70

　　b=

　　 72

　　可见，此程序找到了众信度最大子集的并集的上、下限70和72，然后程序求其上、下限的平均值作为最后的决策结果。

根据Dempster-Shafer证据理论，绝大多数情况下，众信度最大的子集应为单点集。因此，程序COMALLMAXADJ的运行结果多数情况下是唯一的。第二www.lwabc.net个例子的情况并不多见。在这种情况下，求上下限的平价值作为决策结果是一种折中的办法。

　　3.测试例三

　　对于前文提到的得分矩阵A，在假设所有10个指标权重全部相等的情况下运行程序COMALLMAXADJ得到了如下结果：

　　此基金的综合评价得分为85分。

　　五、结论

　　本文探讨了私募股权基金或者基金管理公司业绩评价的定量模型。应用该模型可以将对基金的定性评价转化为定量评价，而且可以将对基金的多方面评价综合起来，得到衡量基金业绩的一个综合指标。该指标可以用于基金排名，此排名比用单个指标，比如IRR的排名更客观、更综合。另外，该指标以及本文讨论的方法对帮助机构投资者选择基金有很大的参考价值。在基金管理公司内部，该指标可作为基金经理或者投资经理业绩考核的依据。最后，该指标对政府或行业协会等监管机构了解基金也会有一定的帮助作用。

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参考文献】

　　〔1〕 段新生.证据理论〔M〕.经济科学出版社，1996.

　　〔2〕 Duan Xinsheng.Weight the Indices to Measure Performance of PE Fund with the AHP Model，Proceedings of 2011 International Conference on Applied Social Science，2011.

　　〔3〕 Alexander Ljungqvist and Matthew Richardson，The Cash Flow，Return and Risk Characteristics of Private Equity〔J〕.NYU，Finance Working Paper No. 03-001，2003.

　　〔4〕 Thomas Meyer & Pierre-Yves Mathonet，Beyond the J-curve：Managing a Portfolio of Venture Capital and Private Equity Funds〔M〕.John Wiley &Sons，Ltd.，2005.

　　〔5〕 Shafer，G.，A Mathematical Theory of Evidence〔M〕.Princeton University Press，Princeton，NJ，1976.

　　〔6〕 Private Equity International，The Guide to Private Equity Fund Investment Due Diligence〔M〕.Research Guide，2005.

　　〔7〕 Pierre-Yves Mathonet & Thomas Meyer，J-curve Exposure：Managing a Portfolio of Venture Capital and Private Equity Funds 〔M〕.John Wiley &Sons，Ltd.，2007.

　　〔8〕 Steven Kaplan and Antoinette Schoar. Private Equity Performance：Returns，Persistence and Capital Flows，MIT Sloan Working Paper No. 4446-03，November，2003.