中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期"开放本科''期末考试
数学思想与方法 试题
2008年7月
一、填空题(每题3分，共30分)
1. 学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段 .。
2．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面人手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。
3．变量数学产生的数学基础是--，标志是--。
4．化归方法是将--转化为已知问题。
5．公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的--，使一门数学构建成为演绎系统的一种方法。
6．数学的第一次危机是由于出现了--而造成的。
7．数学猜想具有两个明显的特点： 与 。
8．所谓社会科学数学化就是指数学向--的渗透，运用数学方法来揭示 --的一般规律。
9．分类必须遵循的原则是 。
10．深层类比又称实质性类比，它是通过 --而得到的类比。
二、判断题(每题4分，共20分，填是或否)
1．数学模型方法是近代才产生的。( )
2．在小学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。( )
3．所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想。( )
4．既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。
( )
5．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。( )
三、简答题(每题10分，共30分)
1．简述概括与抽象的关系。
2．简述培养数学猜想能力的途径。
3．微积分产生可以归结为哪四类情况?
四、论述题(20分)
论述《几何原本》和《九章算术》思想方法的特点。试卷代号：1173
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学思想与方法 试题答案及评分标准
(供参考)
2008年7月
一、填空题(每题3分，共30分)
1．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类
2．寻找反例说明此猜想为假
3．解析几何 微积分
4．疑难问题
5．逻辑推理
6．无理数(或)
7．科学性 推测性
8．社会科学 社会现象
9．①不重复；②无遗漏；③标准同一
10．对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析
二、判断题(每题4分，共20分，填是或否)
1．否 2．否 3．是 4．是 5．是
三、简答题(每题10分，共30分)
1．答：①概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽 象思维过程中所必须的一个环节，前述"收括"操作实际上也是一个概括过程，有人就把"收括"称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。
评分标准：
(1)①答对，得3分；
(2)②答对，得3分；
(3)③答对，得4分；
(4)完整答出①②③，得10分。
2．答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。
评分标准：
(1)①答对，得3分；
(2)②答对，得3分；
(3)③答对，得4分；
(4)完整答出①②③，得10分。
3．答：这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。
①第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。 ·
②第二类是：求曲线切线的斜率和方程。
③第三类是：求函数的最大值与最小值。
④第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。
这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量--变量--问题。
评分标准：
(1)①答对，得2．5分；
(2)②答对，得2．5分；
(3)③答对，得2．5分；
(4)④答对，得2．5分；
(5)完整答出①②③④，得10分。
四、解答题(20分)
答：《几何原本》的思想方法的特点：
①封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②抽象化的内容
《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。
③公理化的方法
《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
《九章算术》的思想方法的特点：
④开放的归纳体系 ．
从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。
因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
⑤算法化的内容
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出"术"，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。
⑥模型化的方法
《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过"术"使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
评分标准： ，
(1)①答对，得3分；
(2)②答对，得3分；
(3)③答对，得4分；
(4)④答对，得3分；
(5)⑤答对，得3分；
(6)⑥答对，得4分；
(7)完整答出①②③④⑤⑥，得20分。
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