中央广播电视大学2006-20Q7学年度第二学期"开放本科"期末考试(半开卷)
数学专业 常微分方程 试题
2007年7月
一、填空题{每小题3分，本题共15分)
I．方程dy/dx =xsin(x+y)满足解的存在惟一性定理条件的区域是--·
2．方程的奇解是 ·
3．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
4．方程的等价方程组是 ·
5． .
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
6．方程的任一非零解在(t，x)平面上( )零点．
A. 有无穷多个 B．只有两个
C. 只有一个 D．无
7．方程{过点(o，o)的解( )．
A. 有一个 B．只有两个
C. 有无数个 D. 只有三个
8．方程过点(1，1)的解的存在区间是( )．
A．(-∞，十∞) D．(-∞，2)
C．(0，+∞) D．(1，+∞)
9．方程的所有常数解是( )．
A．y＝o
10．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应( )积分曲线．
A．一条 B．两条
c. 无穷多条 d. 三条
三、计算题(每小题8分，本题共40分)
求下列方程的通解或通积分：
11． (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
四、计算题(本题共15分)
16．求下列方程组的通解．
五，证明题(本题共15分)
17．设P(x)一个多项式函数，证明：方程
dy/dx =P(x)cosy
所有解的存在区间必为(一∞，+∞)．
试卷代号：1076
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试(半开卷)
数学专业 常微分方程 试题答案及评分标准
(供参考)
2007年7月
一、填空题(每小题3分，本题共15分)
1．全平面
2．y＝±1
3．n
5．(0，0)，(0，1)
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
6．A 7．C 8．B 9．D l0．C
三、计算题(每小题8分，本题共40分)
11．解 将方程改写为
4分，
积分得
即通积分为 (8分)
12．解 先解齐次方程，通解为
即
(4分)
令非齐次方程的特解为
代入原方程，求出C(x)＝x2+C
原方程的通解为 (8分)
因此，原方程是全微分方程． (3分)
取(Xo，yo)＝(o，o)，原方程的通积分为
(6分)
即 (8分)
14．解 这是一个克莱洛方程，因此通解为
(8分)
15．解 令，代八方程，得
分离变量，积分 3分，
于是
(5分)
积分，得通解为
(8分)
四、计算题(本题共15分)
16．解 特征方程为
(3分)
(7分)
(10分)，
所以，原方程组的通解为
（15分），
五、证明题(本题共15分)
上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． (6分)
(9分)
现设y＝y(x)是方程的任一解，若其初值在常数解上，则由解的惟一性，
的存在区间必为(一∞，+∞)．若其初值瘩在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的延展定理y＝y(x)可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区间必为(一∞，+∞)． (15分)
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