中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 高等代数专题研究 试题
2007年7月
一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1. 设集合A＝{1，2，3}，B＝{0，2}，则从集合A到集合B的所有不同映射的个数为( )．
A．2 B．6
C．8 D．9
2．非空自然敷集合N中,a'是a的后继元，则下列结论不成立的是( )．
A. 对任意自然数a均有a'＝a+1
B. 对任意自然数a,b，若a≠b,则a'≠b'，反之亦然
C. 对任意自然数a,b，有a'+b'=(a+b)'，
D．对任意自然数a，有a'＝1或a'≠1
3．任何实系数n(n>o)次多项式( )．
A．至少一个实数根 b，至少一个复数根
c. 有n个实数根 D．有n个根
4．实系数一元三次方程x3-3x+5＝0有( )．
A. 一个实根，两个共轭复根 B. 三个实根且有两个相同实根
c. 三个不同实根 D．没有实根
5．将多项式(x+y十z)7展开合并同类项后，xy4z2的系数是( )．
A．105 B．36
C．45 D．21
二，填空题（每小题3分，本题共15分)
6．已知有限集合A上的置换
7．不等式（x2-7x+10)/(x+1) <0的全部解集合为
8．剩余类环Z8的全部真零因子为
9．方程f(x)=3x4+2x3+x2+5x+2的实根的上、下限 ·
10．重新编排l～4号选手的出场次序，使得所有4名选手都不按原次序出场的排列方法有 种
三、计算题(每小题15分，本题共60分)
11．设集合A={1,2，{3))，写出集合P(A)的所有元素．
12．设非负实数x，y，z，且满足(1/2)x+y+z=2，
求函数f(x，y，z)=x2+2y2+4z2的最小值．
13．在Z(x)中分解多项式f(x)＝x4+x3+2x-4.
14．求1到100的整数中不能被2、3和5整除的自然数的个数．
四、证明题(本题10分)
15．证明函数f(x)＝1/x在区间(o，十∞)内是下凸函数．
试卷代号：1079
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 高等代数专题研究 试题答案及评分标准
(供参考)
2007年7月
一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1．C 2．D 3．D 4．A 5．A
二、填空题(每小题3分，本题共15分)
9. m=2/5,M=5
10. 9
三、计算题(每小题15分，本题共60分)
11．解：由幂集合的性质知，|p(A)|=2|A|=8．
则P(A)＝{Φ{1}，{2}，{{3}}，{1，2}，{1，{3}}，{2，{3}}，{1，2，{3}}} (15分)
由柯西不等式
所求f(x，y，z)＝x2+2y2+4z3的最小值是4， (15分)
13．解：首项系数an＝l，所以f(x)的所有有理根只可能为土1，土2，±4，
经验证知1，一2是f(x)的有理根， (7分)
所以f(x)＝(x-1)(x+2)(b2x2+b1x+b0)，解得b2＝l，bl＝0，b0＝2
则f(x)在Z(x)中分解式为f(x)＝(x-1)(x+2)(x2+2) (15分)
14．解：设S＝{1，2，3，...，100)，A，B，C分别表示S中能被2、3和5整除的整数集合．
8分，
所求为
，
=100一(50+33+20-16-10-6+3)＝26 (15分)
四、证明题(本冠lo分)
15．证明：设x1,x2∈(0，十∞)且x1≠x2，则由均值不等式得
则由凸函数的判别法知函数f(x)＝1/x在区间(o，+∞)内是下凸函数． (10分)
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