中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 复变函数 试题
2007年7月
一、单项选择题(本题共20分，每小题4分)
1．若M=(3+i)(2-i)/(2+i)(3-i),则|M|=（ ）．
A．4.5 B．3
C．2.5 D．1
2．点z=1/2 i是集合E＝{z:|z|<1)的( )．
A. 孤立点 B．内点
C. 外点 D．边界点
3．设z＝x+iy ，若f(z)＝x2一y2+2xyi，则f'(z)＝( )．
A．2z B．一2z
C. z十1 D．Z一1
4．ln(-1)＝( )．
A．πi B 2kπi(k为整数)
C 1 D．(2k十1) πi(k为整数)
5．Res(1/2，0)＝( )．
A．O B．1
C．2 D． 3
二、填空题(本题共20分，每小题4分)
1．设x，y为 ，称形如(x，y)的有序数对为复数，其中的"有序"意指：若x≠y，则(x,y)≠(y，x)．
2．设w＝f(z)，z∈G，z。∈G且zo为G的 点，若，则称f(z)在点z。连续．
3. 函数；在复平面上处处 导．
4．级数的收敛半径等于--·
5．映射w＝z+6将圆周映射为 ．
三、计算题(本题共45分，每小题15分)
1．设v=y2+2x-1，试求以v为虚部的解析函数f(z)＝u+iv，使得f(2)=-i
3．将函数f(z)＝1/(z2+z-2)在点z＝o的邻域内展成幂级数．
四，证明题(本题15分)
试证：点z=-1是函数f(z)＝z2++2z+1的二级零点．
试卷代号：1078
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 复变函数 试题答案及评分标准
(供参考)
2007年7月
一、单项选择题(本题共20分，每小题4分)
1．D 2．B 3．A 4．D 5，B
二、填空题{本窟共20分，每小题4分)
1．实数
2．聚
3．不可
4． 1
s．圆周
三、计算题(本题共45分，每小题15分)
1．解：由C-R条件有
ux＝vy＝2y
于是
u＝2xy十φ(y)
由此得
uy＝2x十φ'(y)＝-vx＝2x-2
从而有
φ(y)＝一2y十c (c为任意常数)
因此
u＝2xy-2y十c
故得
f(z)＝(2xy一2y十c)十i(y2-x2十2x一1)
由f(2)＝一i得c＝0，故得
f(z)=(2xy-2y)十i(y2-x2+2x-1)
＝-i(z-1)2 ，．．．，，．．．15分
2．解：设f(z)＝cosπz，由高阶导数公式得
.........ls分
3．解：因为f(z)的有限奇点只有z1＝1与z2=一2，所以，f(z)在点z＝o可展成幂级
数，且f(z)在 |z|<1内可展开，有：
.........ls分
四、证明题(本题15分)
证法1：因为函数f(z)在点z＝一1解析，且f(一1)＝0，所以点z＝一l为函数f(z)的零点，又因
f(一1)＝f'(一1)＝0，但f''(一1)≠0
故由定义知道，点z=一l为函数f(z)的二级零点． ......15分
证法2：因为函数f(z)在点z＝一1解析，且f(一1)＝0，所以点z＝一l为函数f(z)的零点，又因
f(z)＝z2十2z十1＝(z十1)2
＝[z一(一1)]2．1
而常数函数(z)＝φ1在点z＝一1解析，且φ(一1)≠0，故由定理5.1l得知点z＝一l为函数f(z)的二级零点． .........15分
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