离散数学集合论部分
综合练习辅导
本次活动是本学期的第一次活动（2008.10.14），主要是针对集合论单元的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握集合论的基本概念和方法，也使大家尽早地了解本课程期末考试的题型。
离散数学是电大计算机科学与技术专业（本科）教学计划改革调整后设置的一门统设必修学位课程．本课程4学分，课内72学时，开设一学期．
本课程的学习目标：通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法．同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础．
本课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑三个单元．
集合论单元主要介绍朴素集合论的相关内容，主要在合适定义的论述域中讨论集合的概念、关系及其性质，以及函数概念等．
一、单项选择题
1．若集合A＝{2，a，a，4}，则下列表述正确的是( )．
A．{a，a}?A B．a?A
C．2?A D．?A
正确答案：B
2．若集合A={a，b，1，2}，B=1，2，则（ ）．
A．B ? A，且B?A B．B? A，但B?A
C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A
正确答案：B
3．设集合A = 1, a，则P(A) = ( )．
A．{1, a} B．{,1, a}
C．{,1, a, 1, a} D．{1, a, 1, a}
正确答案：C
注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．
4．设集合A = 1，2，3，4，5，6上的二元关系R =a , b?a , bA , 且a +b = 8，则R具有的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的
C．对称和传递的 D．反自反和传递的
正确答案：B
因为写出二元关系R的集合表达式为
R = 2 , 6，6 , 2，3 , 5，5 , 3，4 , 4
显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的．
要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式．
5．设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系
R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，
S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，
则S是R的（ ）闭包．
A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对
正确答案：C
想一想：R的自反闭包是什么？
如果集合A=1, 2, 3，A上的二元关系R=
6．设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系
的哈斯图如右图所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，
则元素3为B的（ ）．
A．下界 B．最大下界
C．最小上界 D．以上答案都不对
正确答案：C
?
二、填空题
1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 ．
应该填写：2n
如果n=5, n=8，那么A的幂集合P(A)的元素个数分别是多少？
2．设集合A = 1，2，3，4，5，B = 1，2，3，R从A到B的二元关系，
R =a , b?aA，bB且2a + b4
则R的集合表示式为 ．
应该填写：R = 1 , 1，1 , 2，1 , 3，2 , 1，2 , 2，3 , 1
3．设集合A=0, 1, 2，B=0, 2, 4,R是A到B的二元关系，
则R的关系矩阵MR＝
．
应该填写：
因为R =<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>，由此可以写出R的关系矩阵．
4．设集合A=a,b,c，A上的二元关系
R=,
则(R*S)－1= ．
应该填写：,
因为 R*S=
5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R=,
应该填写：反自反的
6．设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是
．
应该填写：<1, a >, <2, b >，<1, b >, <2, a >
想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？
三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
解：结论不成立．
设A=1, 2，B=1，C=2，则A∪B=A∪C，但B?C．
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论："R-11、R1∪R2、R1?R2是自反的" 是否成立？并说明理由．
解：结论成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IA?R1，IA?R2．
由逆关系定义和IA?R1，得IA? R1-1；
由IA?R1，IA?R2，得IA? R1∪R2，IA? R1?R2．
所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的．
3．判断"若偏序集??，R?的哈斯图如右图所示，则集合A的极大元为a，f；最大元不存在．"是否正确，并说明理由．
解：正确
按照极大元定义："若对任意aB，且ba，都有
a = b，则称b为B的极大元"，可知a，f是A的极大元，
且最大元不存在．
想一想："若偏序集??，R?的哈斯图如右图所示，则集合
A的最大元为a；最小元不存在．" 是否正确？
再给出一个判断说明题，大家要重视的。
想一想："设N、R分别为自然数集与实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射．"是否成立？并说明理由．
四、计算题
1．设集合A＝a, b, c，B=b, d, e，求
（1）B?A； （2）A?B； （3）A－B； （4）B?A．
解：（1）B?A=a, b, c?b, d, e=b
（2）A?B=a, b, c?b, d, e=a, b, c, d, e
（3）A－B=a, b, c－b, d, e=a, c
（4）B?A= A?B－B?A=a, b, c, d, e－b=a, c, d, e
2．设集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6．
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元．
解：（1）R=IA?<1,2>, <1,3>, ..., <1,12>, <2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9>, <3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12>
（2）
（3）集合B没有最大元，最小元是：2
3．设集合A＝a, b, c, d上的二元关系R的
关系图如右图所示．
（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）求出R2．
解：（1）R＝, ,
（2）
（3）R2 = , ,
=, ,
五、证明题
1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
证：若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C，
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈A?B 且 x∈A?C ，
即 x∈(A?B) ? (A?C)，
所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．
反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C，
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，
即x∈A或x∈B?C，
即x∈A? (B?C)，
所以 (A?B) ? (A?C)? A? (B?C)．
因此 A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
想一想：等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)如何证明？
2．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a?A，存在b?A，使得?R，则R是等价关系．
证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系．
任意a?A，存在b?A，使得?R，因为R是对称的，故
又R是传递的，即当?R，
由元素a的任意性，知R是自反的．
所以，R是等价关系．
3．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：R?S也是A上的偏序关系．
证明：① 任意x?A,
② 对任意x, y?A，因为R，S是反对称的，由
? (
? (
? x= y且y= x，
即x= y．所以，R?S有反对称性．
③对任意x, y, z ?A，因为R，S是传递的，由
?
?
?
?
所以，R?S有传递性．
总之，R?S是偏序关系.
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