不定方程属于方程的一种，也是数量关系中一个常见的考点，但是不定方程的解法却异于之前见到的常规方程，所以很多同学遇到不定方程觉得无从下手，今天来给大家分享一下不定方程的解法。
一、不定方程定义
不定方程其实是方程的一种，所以要满足方程的要素，既要含有未知数又要存在等式，因此不定方程的定义是未知数的个数大于方程的个数，而考试中常见的不定方程是两个未知数，一个方程，用字母表示不定方程的通项为ax+by=c(a，b均不为0)。通过观察通项发现并不能用常规的解一元一次方程的方法来解，因此下面来介绍不定方程的解法。
二、不定方程解法
不定方程异于常规方程，所以不定方程的解可能有多种情况，同时不定方程的解法也不止一种，下面我们来一一介绍。第一种解法为代入排除法：当通过审题可以列出一个不定方程并且要求其中的一个或者两个未知数，那么所求的未知数其实就在选项中，则可以将选项中的数代到不定方程中，如果满足那就是正确答案。因此总结一下，当直接求解不定方程中的一个或者两个未知数时可以选择代入排除法来解不定方程。当然，使用代入排除法一方面有点浪费时间，另一方面如果题目让我们所求的是不定方程中所涉及的两个未知数的和或者差，这时采用代入排除法是不好做的，所以下面来介绍第二种解法尾数法：尾数法的意思就是通过观察每一个式子的尾数从而推出未知数的解的尾数。可能有同学会有疑惑，有的式子尾数有太多种可能了怎么去确定呢?所以尾数法不是解所有的不定方程都能用，而是要满足它的应用条件，就是当不定方程中的x或者y前面的系数是5的倍数才可以用尾数法来解，因为一个数是5的倍数尾数只有两种可能(5或者0)，这样尾数就确定了，再通过判断另外一个式子的尾数就可以解出其中的一个未知数的尾数，通过尾数反推出未知数的值。如果不满足尾数法的条件怎么办?不怕，我们还有第三种解法倍数法：倍数法的意思为当不定方程中涉及的三个式子ax、by和c中其中有两个是某一个数的倍数，那么剩下的另外一个式子也是这个数的倍数，涉及的这个倍数我们称之为公因子，这就说明不是所有的不定方程都可以用倍数法来解，也需要满足它的应用条件，即三个式子中需要出现公因子。例如3x+7y=15这个不定方程中，3x为3的倍数，15也是3的倍数，那么3就是我们所找的公共的倍数，这时可以推出7y整体也是3的倍数，而7不是3的倍数，所以y为3的倍数，y就可能为3、6、9等数，然后再结合题目的一些限定条件就可以确定y的值，从而解出x，这就是倍数法的应用。当然，如果不定方程中不存在公因子，倍数法就无法使用了，这时我们还有一种方法，就是我们的第四种解法奇偶性：这种方法不像尾数法和倍数法有一定的限定条件，而是只要我们能够判定出一个式子的奇偶性即可解出答案，奇偶性解不定方程应用的结论为奇反偶同，即如果两个数的和为奇数，那么这两个数的奇偶性相反，即一个奇数和一个偶数;如果两个数的和为偶数，那么这两个数的奇偶性相同，即这两个数同为奇数或者同为偶数。确定出奇偶性也可以结合选项选出答案。不定方程的解法介绍完了，遇到不定方程的时候应该使用哪种方法呢?选择的原则为根据方法的限定条件选择相应的方法即可，当然有的题目也有多种解法，下面我们结合例题来应用一下这四种方法。
三、例题精讲
【例1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为( )个。
A.1，6 B.2，4
C.3，2 D.4，1
【答案】C
【解析】第一步，本题考查方程与不等式。第二步，设红、蓝文件袋数量分别为x、y个，由恰好“装满”，可得7x+4y=29。可依次代入选项：代入A选项，7×1+4×6≠29，排除;同理，排除B;代入C选项，7×3+4×2=29，符合题意。或根据奇偶特性，7x必为奇数，排除B、D，代入A选项不符合题意，排除A。因此，选择C选项。
【例2】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是( )。
A.1辆 B.3辆
C.2辆 D.4辆
【答案】B
【解析】第一步，标记量化关系“且”。第二步，设大客车x辆、小客车y辆，根据每位游客均有座位“且”车上没空座位，可得37x+20y=271，因为20y的尾数为0，所以37x的尾数为1，x的尾数为3。因此，选择B选项。
【例3】某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人，小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车( )。
A.多5辆 B.多2辆
C.少2辆 D.少5辆
【答案】A
【解析】第一步，本题考查不定方程问题，用倍数法解题。
第二步，根据20多辆车将2220人，满载2趟正好送完，设大车有x辆，小车有y辆，由题意有2x×50+2y×36=2220，将此不定方程化简得：25x+18y=555，通过观察25是5的倍数，555也是5的倍数，因此18y也是5的倍数，可知y也是5的倍数。当y=5时，x不是正整数，排除;y=10时，x=15，符合车辆总数20多辆的条件，所以大车比小车多15-10=5辆。因此，选择A选项。
【例4】某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名领导?( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B
【解析】第一步，标记量化关系“共”“超过”。第二步，设领导有x名，员工有y名，根据“共”捐款320元，有50x+20y=320，化简得5x+2y=32，2y和32是偶数，故5x为偶数，即x为偶数，排除A、C。代入B选项，解得y=11，x+y=13，“超过”了10人，排除。因此，选择B选项。
通过以上题目相信大家已经对不定方程的解法有所掌握，后期当我们遇到不定方程的题目时，只要将题目特征和方法要求相匹配就可以找到对应的解题方法，以后不定方程的题目应该做起来就得心应手了。
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