第一章 物资调运方案优化的表上作业法
【重点与难点】
重点：初始调运方案的编制，物资调运方案的优化
难点：物资调运方案的优化
【重难点分析】
1. 初始调运方案的编制，主要掌握最小元素法，要注意初始调运方案中填数字的格子数为“产地个数＋销地个数－1”。
最小元素法步骤：(1)在运输平衡表与运价表右侧运价表中找出最小元素，其对应的左侧空格安排运输量，运输量取该最小元素对应的产地的供应量与销地的需求量的最小值，然后将对应供应量和需求量分别减去该最小值，并在运价表中划去差为0的供应量或需求量对应的行或列（若供应量和需求量的差均为0，则只能划去其中任意一行或一列，但不能同时划去行和列）；(2)在未划去运价中，重复(1)；(3)未划去运价只剩一个元素对应的左侧空格安排了运输量后，初始调运方案便已编制完毕。
2. 物资调运方案的优化，要会判断方案是否最优，会对每一个空格找闭回路，会计算每一个空格对应的检验数，会求调整量并调整调运方案直至得到最优调运方案，要注意每一个方案中填数字的格子数要保持“产地个数＋销地个数－1”。
闭回路：每一个空格对应惟一的闭回路，闭回路中除一个空格外，其它拐弯处均填有数字；在闭回路中，我们规定，空格为1号拐弯处，其它拐弯处按顺时针或逆时针方向依次编号，直至回到空格为止。
检验数：每一个空格对应惟一的检验数，检验数在空格对应的闭回路中计算，计算公式为：
检验数＝1号拐弯处单位运价－2号拐弯处单位运价
＋3号拐弯处单位运价－4号拐弯处单位运价＋…
检验数记为 lij，其中第一个下标表示第i个产地，第二个下标表示第j个销地。
最优调运方案的判别标准：若某物资调运方案的所有检验数均非负，则该调运方案最优。
物资调运方案的优化：由最优调运方案判别标准知，若某物资调运方案中存在负检验数，则该调运方案需要进行调整。
调整在含负检验数的空格对应的闭回路中进行，调整量 q 取该闭回路中偶数号拐弯处运输量的最小值，即
q＝min (所有偶数号拐弯处的运输量)
调整时，闭回路拐弯处以外的运输量保持不变，所有奇数号拐弯处运输量都加上 q，所有偶数号拐弯处运输量都减去 q，并取某一运输量为0的拐弯处作为空格（若有两处以上运输量为0，则只能取其中任意一个拐弯处作为空格，其它的0代表该处的运输量）。
【例题讲解】
例1 某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，运输平衡表和运价表如下表所示：
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | 供应量 | B1 | B2 | B3 |
| A1 |
|
|
| 20 | 50 | 40 | 80 |
| A2 |
|
|
| 50 | 30 | 10 | 90 |
| A3 |
|
|
| 80 | 60 | 30 | 20 |
| 需求量 | 50 | 40 | 60 | 150 |
|
|
|
试用最小元素法编制初始调运方案，并求最优调运方案和最小运输总费用。
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | 供应量 | B1 | B2 | B3 |
| A1 | 20 |
|
| 20 | 50 | 40 | 80 |
| A2 | 10 | 40 |
| 50 | 30 | 10 | 90 |
| A3 | 20 |
| 60 | 80 | 60 | 30 | 20 |
| 需求量 | 50 | 40 | 60 | 150 |
|
|
|
对空格找闭回路，计算检验数，直至出现负检验数：
l12＝40－10＋30－50＝10，l13＝80－20＋60－50＝70，
l23＝90－20＋60－30＝100，l32＝30－60＋30－10＝－10＜0
初始调运方案中存在负检验数，需要调整，调整量为
q＝min (20，40)＝20
调整后的第二个调运方案如下表所示：
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | 供应量 | B1 | B2 | B3 |
| A1 | 20 |
|
| 20 | 50 | 40 | 80 |
| A2 | 30 | 20 |
| 50 | 30 | 10 | 90 |
| A3 |
| 20 | 60 | 80 | 60 | 30 | 20 |
| 需求量 | 50 | 40 | 60 | 150 |
|
|
|
对空格再找闭回路，计算检验数：
l12＝40－10＋30－50＝10，l13＝80－20＋30－10＋30－50＝60，
l23＝90－20＋30－10＝90，l31＝60－30＋10－30＝10
所有检验数非负，故第二个调运方案最优。
最小运输总费用为
20×50＋30×30＋20×10＋20×30＋60×20＝3900（元）
例2 某企业从三个产地A1，A2，A3运输某物资到四个销地B1，B2，B3，B4，各产地的供应量、各销地的需求量及各产地到各销地的单位运价如下表所示，求一个最优调运方案及最低运输总费用。
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：百元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | B4 | 供应量 | B1 | B2 | B3 | B4 |
| A1 |
|
|
|
| 80 | 10 | 12 | 2 | 6 |
| A2 |
|
|
|
| 55 | 4 | 7 | 8 | 8 |
| A3 |
|
|
|
| 45 | 3 | 7 | 4 | 11 |
| 需求量 | 30 | 65 | 15 | 70 | 180 |
|
|
|
|
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：百元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | B4 | 供应量 | B1 | B2 | B3 | B4 |
| A1 |
|
| 15 | 65 | 80 | 10 | 12 | 2 | 6 |
| A2 |
| 55 |
|
| 55 | 4 | 7 | 8 | 8 |
| A3 | 30 | 10 |
| 5 | 45 | 3 | 7 | 4 | 11 |
| 需求量 | 30 | 65 | 15 | 70 | 180 |
|
|
|
|
找空格对应的闭回路，计算检验数，直到出现负检验数：
l11＝12，l12＝10，l21＝1，l23＝1，l24＝－3
已出现负检验数，调运方案需要调整，调整量为：q＝5
调整后的第二个调运方案为：
运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：百元/吨）
| 销地 产地 | B1 | B2 | B3 | B4 | 供应量 | B1 | B2 | B3 | B4 |
| A1 |
|
| 15 | 65 | 80 | 10 | 12 | 2 | 6 |
| A2 |
| 50 |
| 5 | 55 | 4 | 7 | 8 | 8 |
| A3 | 30 | 15 |
|
| 45 | 3 | 7 | 4 | 11 |
| 需求量 | 30 | 65 | 15 | 70 | 180 |
|
|
|
|
计算第二个调运方案的检验数，直到出现负检验数：
l11＝9，l12＝7，l21＝1，l23＝4，l33＝0，l34＝3
所有检验数非负，故第二个调运方案最优，最低运输总费用＝1005百元。
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